\(A=\left(x^3+y^3+xy\left(x+y\right)\right)-xy\left(x+y\right)+xy\)

=>    \(A=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)-xy.1+xy\)

=>   \(A=x^2+y^2-xy+xy\)

=>    \(A=x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}\)

DẤU "=" XẢY RA <=>    \(x=y\). MÀ    \(x+y=1\)

=> A min \(=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\).

\(B=x^2-2x+1+x^2-6x+9\)

=>   \(B=2x^2-8x+10\)

=>   \(B=2\left(x^2-4x+4\right)+2\)

=>   \(B=2\left(x-2\right)^2+2\)

CÓ:    \(2\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow2\left(x-2\right)^2+2\ge2\)

=>   \(B\ge2\)

DẤU "=" XẢY RA <=>    \(2\left(x-2\right)^2=0\Leftrightarrow x=2\)

VẬY B MIN = 2 <=>    \(x=2\)

\(A=x^3+y^3+xy=\left(x+y\right).\left(x^2-xy+y^2\right)+xy\)

     \(=x^2-xy+y^2+xy=x^2+y^2\)( do x + y = 1 )

ta có : \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)

Vậy Min A = 1/2 khi x = y = 1/2

Thay y= 1-x ta được

\(c=x^2+y^2+xy=x^2+\left(1-x\right)^2+x\left(1-x\right)=x^2-x+1\)

\(=\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)

Đẳng thức xảy ra  \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-\frac{1}{2}=0\\y=1-x\end{cases}}\)  \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Đặt \(x=1-y\)

\(C=x^2+y^2+xy=\left(1-y\right)^2+y^2+y\left(1-y\right)\)

\(\Leftrightarrow C=1-2y+y^2+y^2+y-y^2=y^2-y+1\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2-2.\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}\Leftrightarrow\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)

Vậy min C là 3/4 khi y=1/2 và x =1- 1/2= 1/2 hay x=y= 1/2

Ta có : 

\(P=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+xy=x^2-xy+y^2+xy=x^2+y^2\) (Do x + y = 1)

Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta có : \(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(1.x+1.y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2P\ge\left(x+y\right)^2\Rightarrow P\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Câu hỏi của thanh tam tran - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

\(x+y=1\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2=1\)

mà \(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)cộng vế với vế ta được

\(x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\)

\(A=\frac{1}{X^2+y^2}+\frac{1}{xy}\ge\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{x^2+y^2}=\frac{3}{x^2+y^2}\ge\frac{3}{0,5}=6\)

\(A_{min}=6\)dấu = khi x=y= 1/2