Ta có: 5²⁰⁰³ + 5²⁰⁰² + 5²⁰⁰¹ 

= 5²⁰⁰¹.(5² + 5 + 1)

= 5²⁰⁰¹ . 31 chia hết cho 31 

a)5²⁰⁰³+5²⁰⁰²+5²⁰⁰¹=5²⁰⁰¹(5²+5+1)=5²⁰⁰¹(25+5+1)=5²⁰⁰¹.31=>chia hết cho 31 

b)1+7+7²+7³+...+7¹⁰¹= (1+7)+(7²+7³)+...+(7¹⁰⁰+7¹⁰¹)= 1(1+7) + 7².(1+7) +......+ 7¹⁰⁰.(1+7)= 1.8 + 7².8 +........+ 7¹⁰⁰.8= 8.(1+7²+...+7¹⁰⁰) =>chia hết cho 8

c)4³⁹+4⁴⁰+4⁴¹=4³⁸.4+4³⁸.4²+4³⁸.4³=4³⁸.(4+16+64)=4^38.84=> chia hết cho 28

a)5²⁰⁰³+5²⁰⁰²+5²⁰⁰¹=5²⁰⁰¹(5²+5+1)=5²⁰⁰¹(25+5+1)=5²⁰⁰¹.31=>chia hết cho 31 

b)1+7+7²+7³+...+7¹⁰¹= (1+7)+(7²+7³)+...+(7¹⁰⁰+7¹⁰¹)= 1(1+7) + 7².(1+7) +......+ 7¹⁰⁰.(1+7)= 1.8 + 7².8 +........+ 7¹⁰⁰.8= 8.(1+7²+...+7¹⁰⁰) =>chia hết cho 8

c)4³⁹+4⁴⁰+4⁴¹=4³⁸.4+4³⁸.4²+4³⁸.4³=4³⁸.(4+16+64)=4^38.84=> chia hết cho 28

\(\left(a\right)5^{2003}+5^{2002}+5^{2001}=5^{2001}\left(5^2+5+1\right)=5^{2001}\left(25+5+1\right)=5^{2001}.31\)

Luôn luôn chia hết cho 31 

a)5²⁰⁰³+5²⁰⁰²+5²⁰⁰¹=5²⁰⁰¹(5²+5+1)=5²⁰⁰¹(25+5+1)=5²⁰⁰¹.31=>chia hết cho 31 

b)1+7+7²+7³+...+7¹⁰¹= (1+7)+(7²+7³)+...+(7¹⁰⁰+7¹⁰¹)= 1(1+7) + 7².(1+7) +......+ 7¹⁰⁰.(1+7)= 1.8 + 7².8 +........+ 7¹⁰⁰.8= 8.(1+7²+...+7¹⁰⁰) =>chia hết cho 8

c)4³⁹+4⁴⁰+4⁴¹=4³⁸.4+4³⁸.4²+4³⁸.4³=4³⁸.(4+16+64)=4^38.84=> chia hết cho 28

cái này mới đúng

a) \(1+2+...+2^{2011}\)

\(=2^0+2+...+2^{2010}+2^{2011}\)

\(=2^0\left(1+2\right)+...+2^{2010}\left(1+2\right)\)

\(=2^0\cdot3+...+2^{2010}\cdot3\)

\(=3\left(2^0+...+2^{2010}\right)⋮3\left(đpcm\right)\)

Các câu còn lại tương tự, dài quá

a) Dãy trên có : 2012 lũy thừa và 2012 \(⋮\)2 =< có thể ghpes thành các nhóm, mỗi nhóm 2 lũy thừa.

 Ta có : 

  A  = ( 1 + 2 ) + ( 2² + 2³ ) + ...+( 2²⁰¹⁰ +  2²⁰¹¹ )

=> A = 3 + 2² . ( 1 + 2 ) +...+ 2²⁰¹⁰. ( 1 + 2 )

=> A = 3 . ( 1 + 2² +...+ 2²⁰¹⁰ ) => A chia hết cho 3

-  Để chứng minh chia hết cho 5 thì ghép 4 cái liền. ( làm tương tự trên )

b, 

Ta có : 

 B = 1 + 7 +...+ 7¹⁰¹

=> B = ( 1 + 7² ) + ( 7 + 7³ ) +...+ ( 7⁹⁹ + 7¹⁰¹ )

=> B = 50 + 7².( 1 + 7² ) +...+ 7⁹⁹. ( 1 + 7² )

=> B = 50 + 7².50 +...+7⁹⁹.50

=> B = 50.( 1 + 7² +...+ 7⁹⁹ ) => B chia hết cho 50

Dưới tương tự...

vì 20 chia hết cho 12 , 36 chia hết cho 12 nên 120a+36b chia hết cho 12

a) 5²⁰⁰³ + 5²⁰⁰² + 5²⁰⁰¹ chia hết cho 31

= 5²⁰⁰¹ . 5² + 5²⁰⁰¹ + 5¹ + 5²⁰⁰¹

= 5²⁰⁰¹ . ( 5² + 5 + 1 )

= 5²⁰⁰¹ . 31 chia hết cho 31

Bạn coi lại đề đi nhé , vì 4³⁹ + 4⁴⁰ + 4⁴¹ không chia hết cho 28 nên mình không chứng minh được !

Nhưng nếu bạn nào thấy mình làm đúng phần a thì k cho mình nha !

4³⁹+4⁴⁰+4⁴¹=4³⁸(1+4+16)=4³⁸.21 chia hết cho 7

4³⁹+4⁴⁰+4^{41 chia hết cho 4}

^{Do đó biểu thức trên chia hết cho 28}

a, 5^2003+5^2002+5^2001

=5^2001.5^2+5^2001.5+5^2001.1

=5^2001.(5^2+5+1)

=5^2001.31 chia hết cho 31

b, 4^39+4^40+4^41

=4^38.4+4^38.4^2+4^38.4^3

=4^38.(4+4^2+4^3)

= 4^38.84 chia hết cho 28

a)\(5^{2003}+5^{2002}+5^{2001}=5^{2001}\left(5^2+5+1\right)=5^{2001}.31\) chia hết cho 31 (đpcm)

b)\(4^{39}+4^{40}+4^{41}=4^{38}\left(4+4^2+4^3\right)=4^{38}.84=4^{28}.3.28\) chia hết cho 28 (đpcm)

\(a.\)\(5^{2003}+5^{2002}+5^{2001}\)

\(=5^{2001}.\left(1+5+5^2\right)\)

\(=5^{2001}.31\)

\(\Rightarrow5^{2003}+5^{2002}+5^{2001}⋮31\)

\(b.\)

\(1+7+7^2+7^3+......+7^{101}\)

\(=8+7^2.\left(1+7\right)+7^4.\left(1+7\right)+....+7^{100}.\left(1+7\right)\)

\(=8+7^2.8+7^4.8+.....+7^{100}.8\)

\(=8+8.\left(7^2+7^4+...+7^{100}\right)\)

Ta thấy cả hai số hạng đều chia hết cho 8

\(\Rightarrow1+7+7^2+7^3+......+7^{101}⋮8\)

Mình cảm ơn :)

Chứng tỏ rằng : 

a) 5^2003 + 5^2002 + 5^2001 chia hết cho 31 

5^2003 + 5^2002 + 5^2001 

= 5^2001 . 5^2 + 5^2001 . 5^1 + 5^200 . 1 

= 5^2001 . 25 + 5^2001 . 5 + 5^2001 . 1

= 5^2001 . ( 25 + 5 + 1 ) 

= 5^2001 . 31 chia hết cho 31

Vậy 5^2003 + 5^2002 + 5^2001 chia hết cho 31