Gọi I là tâm hình bình hành MBDC, J là tâm hình bình hành MAED. G là giao điểm của AI và EM

Tứ giác MBDC là hình bình hành nên BI = IC và MI = ID

Tứ giác MAED là hình bình hành nên AJ = JD 

∆AMD có AI và MJ là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của ∆AMD => AG = ²/₃AI

∆ABC có AI là đường trung tuyến và AG = ²/₃AI nên G là trọng tâm của ∆ABC => G là điểm cố định

Vậy đường thẳng ME luôn đi qua một điểm cố định G (đpcm)

dòng này tôi viết vì  có việc nhé ko phải là tl linh tinh mong thông cảm và cũng ko phải là nội dung bài làm nhé. 

Gọi I là giao điểm của BC và MD

Vì MBDC là hình bình hành 

\(\Rightarrow IB=IC\)

Gọi K là giao điểm của AD và ME

Vì MAED là hình bình hành 

\(\Rightarrow KD=KA\)

Xét \(\Delta AMD\)có MK và AI là các đường trung tuyến

=> G là trọng tâm của \(\Delta AMD\)( G là giao điểm của MK và AI )

\(\Rightarrow GI=\frac{1}{3}AI\)

=> AI là đường trung tuyến của tam giác ABC 

Mà \(GI=\frac{1}{3}AI\)

Nên G là trong tâm của tam giác ABC

=> G là điểm cố định

Vậy khi M di động thì đương thẳng ME luôn đi qua  điểm G cố định

a) Xét tam giác DBI và tam giác BAH có:

\(\widehat{DIB}=\widehat{BHA}=90^o\)

BD = AB (Tam giác ABD vuông cân tại B)

\(\widehat{DBI}=\widehat{BAH}\) (Cùng phụ với góc ABH)

Vậy nên \(\Delta DBI=\Delta BAH\)(Cạnh huyền góc nhọn)

\(\Rightarrow DI=BH.\)

Tương tự ta chứng minh được EK = CH.

b) Gọi J là trung điểm DE. Do DI và EK cùng vuông góc bới BC nên chúng song song nhau.

Từ J kẻ, JM // DI // EK. Khi đó \(JM\perp BC.\)

Xét hình thang DIKE ta thấy ngay JM chính là đường trung bình của hình thang. Vậy M là trung điểm IK.

Lại có theo câu a, \(\Delta DBI=\Delta BAH\Rightarrow IB=AH\), tương tự KC = AH.

Vậy thì MB = MC hay JM là đường trung tuyến tam giác JBC.

Vậy thì \(JM=\frac{DI+EK}{2}=\frac{BH+CH}{2}=\frac{BC}{2}\)

Xét tam giác JBC có đường trung tuyến bằng một nửa cạnh huyền nên nó là tam giác vuông. Lại có  JM đồng thời là đường cao nên tam giác JBC vuông cân tại J. Do BC cố định nên J cố định.

Vậy DE luôn đi qua một điểm cố đỉnh, là đỉnh J nằm cùng phía A so với BC và thỏa mãn tam giác JBC vuông cân tại J. 

Gọi O là tâm ngoại tiếp của \(\Delta\)ABC. Khi đó PK đi qua (O), thật vậy:

Gọi DP,EP,FP cắt đường tròn (K) lần thứ hai lần lượt tại M,N,Q.

Theo hệ thức lượng đường tròn: PA.PD = PB.PE = PC.PF => Tứ giác BCFE nội tiếp

Nên ta có: ^MNQ = ^MNE + ^ENQ = ^MDE + ^EFQ = ^ABP + ^CBP = ^ ABC.

Hoàn toàn tương tự: ^MQN = ^ACB. Từ đó suy ra \(\Delta\)ABC ~ \(\Delta\)MNQ (g.g)

Hai tam giác này có tâm ngoại tiếp tương ứng là O,K nên \(\Delta\)AOC ~ \(\Delta\)MKQ (g.g)

=> \(\frac{OC}{KQ}=\frac{AC}{MQ}\). Bên cạnh đó ^DMQ = ^DFQ = ^CAP nên AC // MQ.

Theo hệ quả ĐL Thales có: \(\frac{AC}{MQ}=\frac{PC}{PQ}\). Từ đây \(\frac{OC}{KQ}=\frac{PC}{PQ}\) (1)

Ta lại có ^OCP = ^ACP - ^OCA = ^MQP - ^KQM = ^KQP (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta\)COP ~ \(\Delta\)QKP (c.g.c) => ^CPO = ^QPK

Mà ba điểm C,P,Q thẳng hàng nên ba điểm O,P,K cũng thẳng hàng. Do vậy PK đi qua O cố định (đpcm).