n là số tự nhiên lớn hơn 1 nên n có dạng \(n=2k\) hoặc \(n=2k+1\) với k là
số tự nhiên lớn hơn 0.

- Với \(n=2k\), ta có \(n^4+4^n=\left(2k\right)^4+4^{2k}\) lớn hơn 2 và chia hết cho 2. Do đó \(n^4+4^n\)là hợp số 

- Với n = 2k+1 ta có :
\(n^4+4^n=n^4+4^{2k}.4=n^4+\left(2.4^k\right)^2=\left(n^2+2.4^k\right)^2-\left(2.n.2^k\right)^2\)

\(=\left(n^2+2.4^k-2.n.2^k\right)\left(n^2+2.4^k+2.n.2^k\right)\)

\(=\left[\left(n-2^k\right)^2+4^k\right]\left[\left(n+2^k\right)^2+4^k\right]\)

Mỗi thừa số đều lớn hơn hoặc bằng 2. Vậy n⁴ + 4ⁿ là hợp sô

Chúc bạn học tốt !!!

m^2-n^2=(m+n)(m-n) 
...Nhưng vì m^2-n^2 là số nguyên tố nên trong 2 thừa số, thừa số nhỏ hơn phải bằng 1, tức m-n=1.Vậy m và n là 2 số tự nhiên liên tiếp 

cho tich

Với n chẵn thì tổng đó thì tổng đó là hợp số vì chia hết cho 2

Vói n lẻ thì n=2k+1, thì ta có:

n⁴+4^2k+1=(n²+2^2k+1)²-n².2^2k+2=(n²+2^2k+1+n.2^k+1)(n²+2^2k+1-n.2^k+1)

Chỉ cần chứng minh cả hai cái đó lớn hơn 1 là được

Ta có: \(n^2+2^{2k+1}\ge2.n.2\frac{2k+1}{2}=n.2^{k+1}\)

Vì n lẻ >1nên n²+2^2k+1-n.2^k+1>1

Vậy số đó là hợp số

shut up and go out

Với n chẵn thì tổng đó là hợp số vì chia hết cho 2

Với n lẻ thì n = 2k + 1 thì ta có

n⁴ + 4^2k+1 = (n² + 2^2k+1)² - n².2^2k+2 = (n² + 2^2k+1 + n.2^k+1)(n² + 2^2k+1 - n.2^k+1)

^{Chỉ cần chứng minh cả 2 cái đó lớn hơn 1 là được}

^{Ta có} n² + 2^2k+1\(\ge\)\(2.n.2^{\frac{2k+1}{2}}=n.2^{k+1}\)

Vì n lẻ và > 1 nên n² + 2^2k+1 - n.2^k+1 > 1

Vậy số đó là hợp số

Với n chẵn thì tổng đó là hợp số vì chia hết cho 2

Với n lẻ thì n = 2k + 1 thì ta có

n4 + 42k+1 = (n2 + 22k+1)2 - n2.22k+2 = (n2 + 22k+1 + n.2k+1)(n2 + 22k+1 - n.2k+1)

Chỉ cần chứng minh cả 2 cái đó lớn hơn 1 là được

Ta có n2 + 22k+1\ge≥2.n.2^{\frac{2k+1}{2}}=n.2^{k+1}2.n.222k+1​=n.2k+1

Vì n lẻ và > 1 nên n2 + 22k+1 - n.2k+1 > 1

Vậy số đó là hợp số

Nếu nn chẵn thì cái tổng chia hết cho 2

Nếu nn lẻ thì

Phân tích nhân tử

Ta có n4+4n=(n2)2+(2n)2+2.n2.2n−2.n2.2n=(n2+2n)2−n2.2n+1=(n2+2n−n.2n+12)(n2+2n+n.2n+12)n4+4n=(n2)2+(2n)2+2.n2.2n−2.n2.2n=(n2+2n)2−n2.2n+1=(n2+2n−n.2n+12)(n2+2n+n.2n+12)

Ta chỉ cần chứng minh cả 2 thừa số đều lớn hơn 1 là được

Tức là ta chứng minh n2+2n−n.2n+12≥1n2+2n−n.2n+12≥1

Tương đương với n2+2n+1−2n.2n+12+n2≥2n2+2n+1−2n.2n+12+n2≥2 ( nhân 2 cho 2 vế )

BĐT <=>(n−2n+12)2+n2≥2<=>(n−2n+12)2+n2≥2 đúng với nn lẻ và n≥3n≥3 

Vậy, ta có điều phải chứng minh