Ta có: a² + b² = 2ab

=> a² + b² - 2ab = 0

=> (a - b)² = 0

=> a - b = 0

=> a = b (Đpcm)

Giải:

Gọi \(ƯCLN\left(a^2;a+b\right)=1\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a^2⋮d\\a+b⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a\left(a+b\right)⋮d\\a^2+ab⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2+ab-a^2⋮d\)

\(\Rightarrow ab⋮d\)

Mà \(\left(a;b\right)=1\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a⋮d\\b⋮d\end{matrix}\right.\)

Nếu \(a⋮d\)

\(\Rightarrow a+b⋮d\Rightarrow b⋮d\)

\(\Rightarrow d\inƯC\left(a;b\right)\)

Mà \(ƯCLN\left(a;b\right)=1\Rightarrow d=1\RightarrowƯCLN\left(a^2;a+b\right)=1\)

Nếu \(b⋮d\)

\(\Rightarrow a+b⋮d\Rightarrow a⋮d\)

\(\Rightarrow d\inƯC\left(a;b\right)\)

Mà \(ƯCLN\left(a;b\right)=1\Rightarrow d=1\RightarrowƯCLN\left(a^2;a+b\right)=1\)

Vậy nếu \(\left(a;b\right)=1\) thì \(\left(a^2;a+b\right)=1\) (Đpcm)

\(a+b+c\le1\) hoặc \(a+b+c=1\) nhá

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(VT\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}=9\)

Đẳng thức xảy ra khi ..........

tính chất của đẳng thức + cm đẳng thức

kho qua

mình cũng đang vướng bài đay nè

ta có ( a+b)² =1 hay a² +2ab + b² =1 

laị có ( a-b)² \(\ge\) 0 hay a² - 2ab + b² \(\ge\) 0

Cộng vế vs vế của các BDT trên ta đc: 2 ( a² + b² ) \(\ge\) 1

                                                        \(\Rightarrow\) a² + b² \(\ge\) 0,5

+ Nếu \(a\)\(;\)\(b\) không chia hết cho 3  \(\Rightarrow\) \(a^2;\)\(b^2\)chia 3 dư 1
khi đó \(a^2+b^2\) chia 3 dư 2  \(\Rightarrow\)\(c^2\) chia 3 dư 2  (vô lý)
 \(\Rightarrow\)trường hợp  \(a\)và \(b\) không chia hết cho 3 không xảy ra \(\Rightarrow\) \(abc\)\(⋮\)\(3\)                                      \(\left(1\right)\)

+ Nếu \(a\)\(;\)\(b\) không chia hết cho 5 \(\Rightarrow\)\(a^2\) chia 5 dư 1 hoặc 4 cà \(b^2\) chia 5 dư 1 hoặc 4

Nếu \(a^2\) chia 5 dư 1 và \(b^2\) chia 5 dư 1  \(\Rightarrow\) \(c^2\) chia 5 dư 2            (vô lí) Nếu \(a^2\) chia 5 dư 1 và \(b^2\) chia 5 dư 4  \(\Rightarrow\) \(c^2\) chia 5 dư 0  \(\Rightarrow\) \(c\)\(⋮\)\(5\) Nếu \(a^2\) chia 5 dư 4 và \(b^2\) chia 5 dư 1  \(\Rightarrow\) \(c^2\) chia 5 dư 0  \(\Rightarrow\) \(c\) \(⋮\)\(5\)Nếu \(a^2\) chia 5 dư 4 và \(b^2\) chia 5 dư 4  \(\Rightarrow\) \(c^2\) chia 5 dư 3            (vô lí).                                               Vậy ta luôn tìm được một giá trị của \(a,\)\(b,\)\(c\)thỏa mãn \(abc\)\(⋮\)\(5\)                                               \(\left(2\right)\)

+ Nếu  \(a,\)\(b,\)\(c\) không chia hết cho 4  \(\Rightarrow\) \(a^2,\)\(b^2,\)\(c^2\) chia  8 dư 1 hoặc 4
khi đó \(a^2+b^2\) chia  8 dư \(0,\)\(2\)hoặc
\(\Rightarrow\) c2:5 dư 1,4. vô lý => a hoặc b hoặc c chia hết cho 4                             (3)
Từ (1) (2) và (3) => abc chia hết cho 60

a vừa là ước vừa là bội của b thì chắc chắn |a|=b hay a=b hoặc a=-b 
có thể chứng minh đơn giản như sau: giả sử a= bx và b=ay ( với x ; y là 2 số nguyên) 
thế b=ay vào a=bx ta được: a= axy => xy=1 vì x và y nguyên nên 
x=1 và y=1 hoặc x=-1 và y=-1 thay x và y vào điều giả sử ta được a=b hoặc a=-b

Từ a+b=c Ta được a+b-c=0

Do đó:\(\left(a+b-c\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab-ac-bc\right)=0\)(đccm)

Có thể ( chỉ là có thể thôi ) các bạn chưa học hằng đẳng thức nâng cao nên mình sẽ chứng minh và dùng nó luôn , còn các bạn cứ lấy nó mà dung , bởi vì nó cũng có thể được coi là " định lý ", đại loại thế

Bổ đề : CMR: \(\left(a+b-c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab-ac-bc\right)\)

\(\left(a+b-c\right)\left(a+b-c\right)=a^2+ab-ac+ab+b^2-bc-ac-bc+c^2\)

\(=a^2+b^2+c^2+\left(ab+ab\right)-\left(ac+ac\right)-\left(bc+bc\right)\)

\(=a^2+b^2+c^2+2\left(ab-ac-bc\right)\)

Nhờ bổ đề trên\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab-ac-bc\right)=a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc=\left(a+b-c\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\)\(a+b-c=0\)vì \(\left(a+b-c\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\)\(a+b=c\left(DPCM\right)\)

Còn nhiều hằng đẳng thức nâng cao nữa cũng kiểu dạng này, nếu bạn muốn biết thì hãy tự chứng minh nó và áp dụng nó vào bài như một bổ đề, mình chỉ chia sẽ kinh nghiệm vậy thôi

GOOD LUCK

Ở trên là bài toán đảo và muốn giải bài của bạn thì bạn chỉ cần đảo ngược nó lại (Đừng lo , mình ko chép mẫu đâu)