bài 1

Áp dụng a^ n -b^ n chia hết cho a-b với mọi n thuộc N : a ^n -1+ b ^n+1 chia hết cho a+b với mọi n thuộc N

=> 9^ 2n-1

= máy tính bỏ túi là xong 

bài 2

a) Ta có : 942 60 -351 37=(942 4 )15 -351 37=(...6)15 -351 37=(...6)-(...1)=(...5)

vì (...5) có tận cùng là 5

=> (...5) chia hết cho 5

b) Ta có : 99^ 5=(99^ 4 )(99 ^1 )=(...1).(...9)=(....9)

98^ 4=(...6)

97^ 3=97^ 2 .97=(...9)(..7)=(..3)

96 ^2=(....6)

=> (...9)-(...6)+(...3)-(...6)=(...0)

Vây (....0) chia hết cho cả 2 và 5 

bài 3

A = 405 n + 2^405 + m2

405^ n tận cùng là 5 2 ^405 = (2^ 4 )101 . 2

= (...6)101 . 2 = (..6).2 = (..2)

m2 tận cùng là 0;1;4;5;6;9

Vậy chữ số tận cùng của A có thể là 7 ; 8 ; 3 ; 2 ; 6

n không có tận cùng là 0

Vậy A không chia hết cho 10 

bài 4

a) Chữ số tận cùng của số đuôi 1 lũy thừa luôn là 1
b) Số đuôi 8 thì: ^(2n+1) thì đuôi là 8
^(2n+2) thì đuôi là 4
^(2n+3) thì đuôi là 2
^(2n+4) thì đuôi là 6
218=108.2+2=> Có đuôi là 4

Cảm ơn bạn !

1)

a)\(\overline{ab}+\overline{ba}=10a+b+10b+a=11a+11b=11\left(a+b\right)⋮11\)

b) \(\overline{ab}-\overline{ba}=10a+b-10b-a=9a-9b=9\left(a-b\right)⋮9\)

2)

a) Có: \(\overline{abcd}=100\overline{ab}+\overline{cd}=99\overline{ab}+\left(\overline{ab}+\overline{cd}\right)\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}99\overline{ab}⋮99\\\left(\overline{ab}+\overline{cd}\right)⋮99\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\overline{abcd}⋮99\)

b) Có: \(\overline{abcdef}=1000\overline{abc}+\overline{def}=999\overline{abc}+\left(\overline{abc}+\overline{def}\right)=37\cdot27\cdot\overline{abc}+\left(\overline{abc}+\overline{def}\right)\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}37\cdot27\cdot\overline{abc}⋮37\\\left(\overline{abc}+\overline{def}\right)⋮37\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\overline{abcdef}⋮37\)

3)

a) Có: \(A=1+3+3^2+...+3^{1998}+3^{1999}+3^{2000}\\ A=\left(1+3+3^2\right)+\left(3^3+3^4+3^5\right)+...+\left(3^{1998}+3^{1999}+3^{2000}\right)\\ A=\left(1+3+3^2\right)+3^3\left(1+3+3^2\right)+...+3^{1998}\left(1+3+3^2\right)\\ A=13+3^3\cdot13+...+3^{1998}\cdot13\\ A=13\left(1+3^3+...+3^{1998}\right)⋮13\)

b) Có: \(B=1+4+4^2+...+4^{2010}+4^{2011}+4^{2012}\\ B=\left(1+4+4^2\right)+\left(4^3+4^4+4^5\right)+...+\left(4^{2010}+4^{2011}+4^{2012}\right)\\ B=\left(1+4+4^2\right)+4^3\left(1+4+4^2\right)+...+4^{2010}\left(1+4+4^2\right)\\ B=21+4^3\cdot21+...+4^{2010}\cdot21\\ B=21\left(1+4^3+...+4^{2010}\right)⋮21\)

a,

Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là a;a+1;a+2

Khi chia một số cho 3 sẽ xảy ra 1 trong ba trường hợp sau:

a=3k hoạc a=3k+1 hoặc a=3k+2

* Nếu a=3k thì a sẽ chia hết cho 2.                                                                                   (1)

* Nếu a=3k+2 thì a+1=3k+2

                          a    =3k+3

Vì 3k chia hết cho 3

     3 chia hết cho 3

=> 3k+3 chia hết cho 3 hay a+1 chia hết cho 3                                                                                          (2)

* Nếu a=3k+1 thì a+2=3k+1

                          a   =3k+3

Vì 3k chia hết cho 3

     3 chia hết cho 3

=>  3k+3 chia hết cho 3 hay a+2 chia hết cho 3                                                                                         (3)

Từ (1),(2) và (3) =>trong 3 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 3

Vậy trong 3 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 3

\(7^0+7^1+7^2+7^3+....+7^{2010}+7^{2011}\)

\(=\left(1+7\right)+\left(7^2+7^3\right)+....+\left(7^{2010}+7^{2011}\right)\)

\(=\left(1+7\right)+7^2\left(1+7\right)+....+7^{2010}\left(1+7\right)\)

\(=8+7^2.8+....+7^{2010}.8\)

\(=8\left(1+7^2+....+7^{2010}\right)⋮8\left(dpcm\right)\)

2011 có tổng các chữ số là 2+0+1+1=4 \(⋮̸3\)=> 2011 không chia hết cho 3 => 2011ⁿ \(⋮̸3\)

Ta biết rằng 3 số liên tiếp luôn tồn tại ít nhất một số chia hết cho 3

xét 3 số  2011ⁿ ; 2011ⁿ +1; 2011ⁿ +2 là 3 số liên tiếp mà 2011ⁿ \(⋮̸3\)=> 1 trong 2 số còn lại phải chia hết cho 3 => (2011ⁿ +1)(2011ⁿ +2) \(⋮3\)với mọi n tự nhiên