m = 2k thì 
(2k)^3 + 20*2k = 8k^3 + 40k = 8k(k^2 + 5) 
Cần chứng minh k(k^2 + 5) chia hết cho 6 là xong. 
+ nếu k chẵn => k(k^2 + 5) chia hết cho 2 
+ nếu k lẻ => k^2 lẻ => k^2 + 5 chẵn => k(k^2 + 5) chia hết cho 2 
Vậy k(k^2 + 5) chia hết cho 2 
+ nếu k chia hết cho 3 => k(k^2 + 5) chia hết cho 3 
+ nếu k chia 3 dư 1 => k^2 + 5 = (3l + 1)^2 + 5 = 9l^2 + 6l + 6 chia hết cho 3 
+ nếu k chia 3 dư 2 => k^2 + 5 = (3l + 2)^2 + 5 = 9l^2 + 12l + 9 chia hết cho 3 
Vậy k(k^2 + 5) chia hết cho 3 
=>dpcm

M=2+2^3+2^4+....+2^20 (tổng M có 20 số hạng)

M=(2+2^2+2^3+2^4)+....+(2^17+2^18+2^19+2^20) (tổng M có 20:4=5 nhóm)

M=2*((1+2+2^2+2^3)+...+2^17*(1+2+2^2+2^3)

M=2*15+........+2^17*15

M=15*(2+.+2^17)

VÌ 15 chia hết cho 5 .=>15*(2+...+2617) cũng chia hết cho 5

=>M chia hết cho 5

Vậy M chia hết cho 5

Đề sai rồi bạn 

Mình viết đề sai à.Để mình xem lại

Bài này nhìn quen quen

k chia hết cho 2 nên k có dạng : \(2k\left(k\in Z\right)\)

Ta có : \(\left(m^3+20m\right)=\left[\left(2k\right)^3+20.2k\right]=8k^3+40k=8k\left(k^2+5\right)\)

\(k⋮2\Rightarrow k\left(k^2+5\right)⋮2\)

\(k⋮̸2\)thì : \(k\equiv1\left(mod2\right)\Leftrightarrow k^2\equiv1\left(mod2\right)\)

\(5\equiv-1\left(mod2\right)\Rightarrow k^2+5\equiv1+\left(-1\right)=0\left(mod2\right)\Rightarrow k\left(k^2+5\right)⋮2\)

\(\Rightarrow8k\left(k^2+5\right)⋮16\left(\cdot\right)\)

Xét : +> k chia hết cho 3 : \(k\left(k^2+5\right)⋮3\)

+> k chia 3 dư 1 : \(k\equiv1\left(mod3\right)\Leftrightarrow k^2\equiv1\left(mod3\right);5\equiv-1\left(mod3\right)\Rightarrow k^2+5\equiv1+\left(-1\right)=0\left(mod5\right)⋮3\)

+> k chia 3 dư 2 : \(k\equiv-1\left(mod3\right)\Leftrightarrow k^2\equiv\left(-1\right)\left(-1\right)=1\left(mod3\right);5\equiv-1\left(mod3\right)\Rightarrow k^2+5⋮3\)

\(\Rightarrow k\left(k^2+5\right)⋮3\left(\cdot\cdot\right)\)Mà 16 và 3 nguyên tố cùng nhau từ \(\left(\cdot\right);\left(\cdot\cdot\right)\Rightarrow8k\left(k^2-5\right)⋮16.3=48\left(đpcm\right).\)

\(a,S=\dfrac{\left(2014+4\right)\left[\left(2014-4\right):3+1\right]}{2}=\dfrac{2018\cdot671}{2}=677039\\ b,\forall n\text{ lẻ }\Rightarrow n+2013\text{ chẵn }\Rightarrow n\left(n+2013\right)⋮2\left(1\right)\\ \forall n\text{ chẵn }\Rightarrow n\left(n+2013\right)⋮2\left(2\right)\\ \left(1\right)\left(2\right)\RightarrowĐpcm\\ c,M=\left(2+2^2+2^3+2^4\right)+...+\left(2^{17}+2^{18}+2^{19}+2^{10}\right)\\ M=2\left(1+2+2^2+2^3\right)+...+2^{16}\left(1+2+2^2+2^3\right)\\ M=\left(1+2+2^2+2^3\right)\left(2+...+2^{16}\right)=15\left(2+...+2^{16}\right)⋮15\)

a)n(n+2013)

xét 2 tr hp.

tr hp 1:n là số lẻ 

=>n+2013 là số chẵn

=>n(n+2013) là số chẵn =>n(n+2013) chia hết cho 2.

tr hp 2:nlà số chẵn

=>n(n+2013) là số chẵn=> n(n+2013) chia hết cho 2.

b)M=2¹+2²+2³+2⁴+....+2²⁰

M=2.1+2.2+2.4+2.8 +2⁵.1+2⁵.2+2⁵.4+2⁵.8+.......+2¹⁷.1+2¹⁷.2+2¹⁷.4+2¹⁷.8

M=2(1+2+4+8)+2⁵(1+2+4+8)+....+2¹⁷(1+2+4+8)

M=2.15+2⁵.15+....+2¹⁷.15

=>M chiia hết cho 5

M = 2+2² +2³+2⁴+.....+2²⁰ chứng tỏ rằng M chia hết cho 5

Số số hạng của tổng là :

(20-1) : 1 +1 = 20 ( số hạng )

Ta ghép 4 số vào 1 nhóm , như vậy có số nhóm là :

20 : 4 = 5 ( nhóm )

Ta có :

M = 2+2²+2³+2⁴+2⁴+.....+2²⁰

     = ( 2 + 2²+2³+2⁴)+.....+(2¹⁷+2¹⁸+2¹⁹+2²⁰)

     = 2.(1+2+3+4)+.....+2¹⁷.(1+2+3+4)

     = 2.10+....2¹⁷.10

      = (2+...+2¹⁷ ) . 10 chia hết cho 5

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bạn tham khảo ở đây: Câu hỏi của phương vy - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath