cho x,y,z là các số nguyên đôi một khác nhau.Chứng minh rằng:(x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5 chia hết cho 5(x-y)(y-z)(z-x)
Những câu hỏi liên quan
Cho x,y,z là số nguyên đôi một khác nhau . chứng minh rằng: (x-y)5+(y-z)5+(z-x)5 chia hết cho (x-y)*(y-z)*(z-x)
Cho x,y,z là các số nguyên đổi một khác nhau.CMR
(x-y)^5 + (y-z)^5 + (z-x)^5 chia hết cho 5(x-y)(y-z)(z-x)
Đặt \(x-y=a;y-z=b;\Rightarrow z-x=-b-a\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^5+\left(y-z\right)^5+\left(z-x\right)^5=a^5+b^5+\left(-a-b\right)^5\)
\(=\left(a^5+b^5\right)+\left(-a^5-5a^4b-10a^3b^2-10a^2b^3-5ab^4-b^5\right)\)
\(=-5a^4b-10a^3b^2-10a^2b^3-5ab^4\)
\(=-5ab\left(a^3+2a^2b+2ab^2+b^3\right)\)
\(=-5ab\left[\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+2ab\left(a+b\right)\right]\)
\(=-5ab\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2+a+b\right)⋮-5ab\left(-a-b\right)\)
Hay \(\left(x-y\right)^5+\left(y-z\right)^5+\left(z-x\right)^5⋮5\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\)(đpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
Cho x y z là các số nguyên và x^5+y^5=4(z^5+t^5). Chứng minh x+y+z+t chia hết cho 5
Cho x,y,z là các số nguyên dương ta có:
(x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5 chia hết cho 5(x-y)(y-z)(z-x)
Cho các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn x+ y +z =2010 . Chứng minh rằng x^5+y^5+z^5 chia hết cho 30.
\(x^5-x=x\left(x^4-1\right)=x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-4+5\right)=x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-4\right)+5x\left(x-1\right)\left(x+1\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)+5x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)
Do \(\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\) là tích 5 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 5, một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3\(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮2.3.5=30\)
Mặt khác: \(x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3
\(\Rightarrow x\left(x-1\right)\left(x+1\right)⋮6\)\(\Rightarrow5x\left(x-1\right)\left(x+1\right)⋮5.6=30\)
\(\Rightarrow x^5-x=\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)+5x\left(x-1\right)\left(x+1\right)⋮30\)
CMTT \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y^5-y⋮30\\z^5-z⋮30\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x^5+y^5+z^5\right)-\left(x+y+z\right)⋮30\)
Mà \(x+y+z=2010⋮30\)
\(\Rightarrow x^5+y^5+z^5⋮30\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho 3 số nguyên dương x, y, z. Chứng minh rằng: \(\left(x-y\right)^5+\left(y-z\right)^5+\left(z-x\right)^5\) chia hết cho\(5\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\)
Ta có: (x-y + (y-z) + (z-x) = 0
Đặt x - y = a, y-z = b, z-x = c thì a+b+c=0
Khi đó \(a^5+b^5+c^5⋮5abc\)
Vậy ta có đpcm
cho x,y,z là các số tự nhiên có ít nhất một số khác 0 và nguyên tố cùng nhau.Chứng minh rằng các số x+y+z;xy+yz;xyz cũng nguyên tố cùng nhau
Cho x,y,z là các số nguyên thỏa mãn (x-y)(y-z)(z-x) = x + y + z.
Chứng minh rằng: (x + y + z) chia hết cho 27.
cho x,y,z,t,k là các số nguyên thỏa x+y+z+t+k chia hết cho 5
cmr \(x^5+y^5+z^5+t^5+k^5\)chia hết cho 5
tui chịu mấy má