Phân tích ra ta được: 4n² +4n+1+8n+9

                          =  4n²+4n+8n+10

                          =4n(n+1) +8n + 8  +2

   mà 4n(n+1) chia hết cho 8 (n(n+1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp); 8n và 8 chiaheets cho 8. Vậy còn dư 2

Nên biểu thức không chia hết cho 8 với mọi n

a, Ta có : 5ⁿ⁺² + 26.5ⁿ + 8²ⁿ⁺¹ = 25.5ⁿ + 26.5ⁿ + 8.64ⁿ = 51.5ⁿ + 8.64ⁿ

Vì \(64\equiv5\) ( mod 59 ) nên \(64^n\equiv5^n\) ( mod 59 )

Do đó : \(5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}\equiv51.5^n+8.5^n\) ( mod 59 )

\(\Leftrightarrow5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}\equiv59.5^n\) ( mod 59 )

\(\Leftrightarrow5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}\equiv0\) ( mod 59 ) hay \(\left(5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}\right)⋮59̸\)

b, Ta có : \(168=2^3.3.7\)

- Vì \(3^{2n}+7=9^n+7\equiv1+7\)( mod 8 ) hay \(3^{2n}+7\equiv0\) ( mod 8 )

\(\Rightarrow\left(3^{2n}+7\right)⋮8.\)Mặt khác : \(4^{2n}=16^n⋮8\)nên \(\left(4^{2n}-3^{2n}-7\right)⋮8\)     (1)

- Vì \(4^{2n}\equiv1\)( mod 3 ) ; \(7\equiv1\)( mod 3 ) \(\Rightarrow4^{2n}-7\equiv0\) ( mod 3 ) 

Do đó : \(\left(4^{2n}-3^{2n}-7\right)⋮3\)   (2)

- Vì \(4^{2n}=16^n\equiv2^n\) ( mod 7 ) ; \(3^{2n}=9^n\equiv2^n\) ( mod 7 )

nên \(4^{2n}-3^{2n}\equiv0\) ( mod 7 ). Do đó : \(\left(4^{2n}-3^{2n}-7\right)⋮7\) (3)

Từ (1);(2);(3) và ( 8,3,7 ) = 1 nên \(\left(4^{2n}-3^{2n}-7\right)⋮8.3.7\)

hay \(\left(4^{2n}-3^{2n}-7\right)⋮168\) \(\left(n\ge1\right)\)

n lớn hơn 1 nhé

Ta có:

2 chia hết cho 2; 4 chia hết cho 2 

Nên (2n+4) chia hết cho 2

Suy ra (2n+1).(2n+2) chia hết cho 2 (ĐPCM)