gọi I là giao điểm của QM và BD

Áp dụng định lí Mê-nê-la-uyt cho \(\Delta ABD\)

\(\frac{AQ}{QD}.\frac{ID}{IB}.\frac{MB}{MA}=1\)

vì Q,M,I thẳng hàng , kết hợp với MA = QA suy ra \(\frac{MB}{QD}.\frac{ID}{IB}=1\)

Ta có : MB = NB ; DP = DQ ; PC = NC 

nên \(\frac{NB}{DP}.\frac{ID}{IB}=1\Rightarrow\frac{PC}{PD}.\frac{ID}{IB}.\frac{NB}{NC}=1\)

do đó , theo định lí Mê-nê-la-uyt thì I,N,P thẳng hàng

từ đó ta được đpcm

các bạn giúp mình nhé mai mình phải nộp bài rùi :((

a) Xét tam giác  ADB có: 

\(\frac{AE}{AB}=\frac{AH}{AD}\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow HE//DB\left(1\right)\)( định lý Ta-let đảo )

Xét tam giác CDB có:

\(\frac{CF}{CB}=\frac{CG}{CD}\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow GF//BD\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow HE//GF\)

CMTT\(HG//EF\)( cùng // AC)

Xét tứ giác EFGH có:

\(\hept{\begin{cases}HE//GF\left(cmt\right)\\HG//EF\left(cmt\right)\end{cases}\Rightarrow EFGH}\)là hình bình hành (dhnb)

b) 

Đặt\(\frac{AE}{AB}=\frac{AH}{AD}=\frac{CF}{CB}=\frac{CG}{CD}=k\)

Xét tam giác ADB có:

\(HE//BD\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\frac{HE}{BD}=\frac{AE}{AB}\)( hệ quả của định lý Ta-let)

\(\Rightarrow\frac{HE}{BD}=k\)( vì \(\frac{AE}{AB}=k\))

\(\Rightarrow HE=k.BD\)

Xét tam giác ABC có:

\(EF//AC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\frac{EF}{AC}=\frac{BE}{BA}\)( hệ quả của định lý Ta-let)

\(\Rightarrow\frac{EF}{AC}=\frac{AB-AE}{BA}=1-k\)

\(\Rightarrow EF=\left(1-k\right)AC\)

\(P_{EFGH}=2\left(HE+EF\right)\)

\(=2\left[k.BD+\left(1-k\right)AC\right]\)

\(=2AC\)không đổi  ( AC=BD do ABCD là hình chữ nhật )

Vậy chu vi của hbh EFGH có giá trị không đổi 

bạn bảo châu ơi

Em tự vẽ hình nhé. Ý sau cô nói rõ yêu cầu hơn là chứng minh hình bình hành MNPQ có chu vi bằng tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác ABCD.

Xét tứ giác EFMN có OF = ON; OE = OM nên nó là hình bình hành (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Vậy thì MN // EF // AC và MN = EF = AC / 2 (Vì EF là đường trung bình tam giác BAC).

Hoàn toàn tương tự: QP // GH // AC và QP = GH = AC/2.

Vậy MNPQ là hình bình hành (Cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

Khi đó ta có:

 \(p_{MNPQ}=PQ+PN+NM+MQ=\left(PQ+MN\right)+\left(MQ+PN\right)=AC+BD.\)

Vậy ta đã chứng minh xong bài toán.

Cô ơi em ko hiểu.Theo em thì ta phải cm MN//=AC và PQ//=AC

a: Gọi O là giao của AC và BD

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét tứ giác AECG có

AE//CG

AE=CG

Do đó: AECG là hình bình hành

=>AG//CE và AG=CE

Xét tứ giác AHCF có

AH//CF

AH=CF

Do đó: AHCF là hình bình hành

=>AF//CH và AF=CH

Xét ΔANB có

E là trung điểm của AB

EM//AN

Do đó: M là trung điểm của BN

=>BM=MN

Xét ΔDMC có

G là trung điểm của DC

GN//MC

Do đó: N là trung điểm của DM

=>DN=MN=MB=1/3DB

DN=1/3DB

DO=1/2DB

Do đó: \(\dfrac{DN}{DO}=\dfrac{1}{3}:\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{3}\)

Xét ΔADC có

DO là trung tuyến

DN=2/3DO

Do đó: N là trọng tâm

=>A,N,G thẳng hàng và C,N,H thẳng hàng

Xét ΔABC có

BO là trung tuyến

BM=2/3BO

Do đó: M là trọng tâm

=>A,M,F thẳng hàng và C,M,E thẳng hàng

Xét ΔEBM và ΔGDN có

EB=GD

\(\widehat{EBM}=\widehat{GDN}\)

BM=DN

Do đó: ΔEBM=ΔGDN

=>EM=GN

Xét tứ giác EMGN có

EM//GN

EM=GN

Do đó: EMGN là hình bình hành

b: Để EMGN là hình chữ nhật thì EG=NM

=>\(AD=\dfrac{BD}{3}\)