Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm 0; cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SD và BC. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là trung điểm của cạnh SD, N là điểm trên cạnh BC sao cho CN=2BN. Biết rằng M N = a 10 3 tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) theo a.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA ⊥ (ABCD) và S A = a 15 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD: Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SMN)?
Gọi I = AC ∩ MN ⇒ I là trung điểm của OC, ta có:
- Ta có: MN// BD mà BD ⊥ (SAC)(cmt) ⇒ MN ⊥ (SAC).
- Trong (SAC) kẻ AH ⊥ SI (H ∈ SI) ⇒ MN ⊥ AH.
- Ta có:
- Xét tam giác vuông SAI ta có:
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$. Biết $AD=2a$, $AB=BC=SA=a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy. Gọi $M$ là trung điểm của $AD$. Tính khoảng cách $h$ từ $M$ đến mặt phẳng $(SCD)$.
Ta có \(\frac{d\left(A,\left(SCD\right)\right)}{d\left(M,\left(SCD\right)\right)}=2\Rightarrow d=\left(m,\left(SCD\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(A,\left(SCD\right)\right)\)
Dễ thấy AC _|_ CD, SA _|_ CD dựng AH _|_ SA => AH _|_ (SCD)
Vậy d(A,(SCD))=AH
Xét tam giác vuông SAC (A=1v) có \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{AS^2}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)
Vậy suy ra \(d\left(M,\left(SCD\right)\right)=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)
là trọng tâm tam giác SAE.
Tứ diện AEND vuông tại đỉnh A nên
h=\(\dfrac{\sqrt{6}}{6}\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và cạnh bên SC tạo với đáy một góc 60 o Gọi M, N là trung điểm các cạnh bên SA và SB Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (DMN) bằng
A. 2 a 465 31
B. a 31 31
C. a 60 31
D. 2 a 5 31
Chọn A.
Xác định được
Vì M là trung điểm SA nên
Kẻ AK ⊥ DM và chứng minh được AK ⊥ (CDM) nên
Trong tam giác vuông MAD tính được
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với A B = a , A D = 2 a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và cạnh bên SC tạo với đáy một góc 60 ° . Gọi M, N là trung điểm các cạnh bên SA và SB. Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (DMN) bằng
A. 2 a 465 31
B. a 31 60
C. a 60 31
D. 2 a 5 31
Xác định được
Vì M là trung điểm SA nên
Kẻ và chứng minh được nên
Trong ∆ vuông MAD tính được
Chọn A.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy SA = a 2 . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SD (tham khảo hình vẽ). Góc giữa mặt phẳng (AMN) và đường thẳng SB bằng
A. 45 °
B. 60 °
C. 90 °
Đáp án B
Ta có: B C ⊥ A B B C ⊥ S A ⇒ B C ⊥ M A
Mặt khác A M ⊥ S B ⇒ A M ⊥ S B C ⇒ A N ⊥ S C , tương tự A N ⊥ S C
Do đó S C ⊥ A M N , mặt khác ∆ S B C vuông tại B suy ra tan B S C ^ = B C S B = a S A 2 + A B 2 = 1 3
⇒ S B ; S C ^ = B S C ^ = 30 ° ⇒ S B ; A M N ^ = 60 ° .
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Các cạnh bên SA = SB = SC = SD = a√2. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và BC.
a) Chứng minh mặt phẳng (SIK) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB.
a) Gọi O là tâm hình vuông ABCD , dễ thấy I, O, K thẳng hàng. Vì K là trung điểm của BC nên SK ⊥ BC.
Ta có
Do đó (SBC) ⊥ (SIK)
b) Hai đường thẳng AD và SB chéo nhau. Ta có mặt phẳng (SBC) chứa SB và song song với AD. Do đó khoảng cách giữa AD và SB bằng khoảng cách giữa AD và mặt phẳng (SBC).
Theo câu a) ta có (SIK) ⊥ (SBC) theo giao tuyến SK và khoảng cách cần tìm là IM, trong đó M là chân đường vuông góc hạ từ I tới SK. Dựa vào hệ thức IM. SK = SO. IK
ta có
Ta lại có:
Do đó:
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB là bằng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Biết thể tích của khối chóp S.ABCD bằng a 3 3 . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBE).
A. 2 a 3
B. a 2 3
C. a 3
D. a 3 3
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA=2a. Gọi M là trung điểm của SD. Tính khoảng cách d giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ACM)
A. d = 3 a 2 .
B. d = a .
C. d = 2 a 3 .
D. d = a 3 .
Đáp án là D
+ Gọi O là giao điểm của AC,BD
⇒ MO \\ SB ⇒ SB \\ ACM
⇒ d SB,ACM = d B,ACM = d D,ACM .
+ Gọi I là trung điểm của AD ,
M I \ \ S A ⇒ M I ⊥ A B C D d D , A C M = 2 d I , A C M .
+ Trong ABCD: IK ⊥ AC (với K ∈ AC ).
+ Trong MIK: IH ⊥ MK (với H ∈ MK ) (1) .
+ Ta có: AC ⊥ MI ,AC ⊥ IK ⇒ AC ⊥ MIK
⇒ AC ⊥ IH (2) .
Từ 1 và 2 suy ra
IH ⊥ ACM ⇒ d I ,ACM = IH .
+ Tính IH ?
- Trong tam giác vuông MIK. : I H = I M . I K I M 2 + I K 2 .
- Mặt khác: M I = S A 2 = a , I K = O D 2 = B D 4 = a 2 4
⇒ I H = a a 2 4 a 2 + a 2 8 = a 3
Vậy d S B , A C M = 2 a 3 .
Lời giải khác