Ta có:\(\frac{1+2+3+...+a}{a}=\frac{a\left(a+1\right)}{a}=a+1\)

\(\frac{1+2+3+...+b}{b}=\frac{b\left(b+1\right)}{b}=b+1\)

Vì \(\frac{1+2+...+a}{a}< \frac{1+2+...+b}{b}\Rightarrow a+1< b+1\Rightarrow a< b\)

Vậy a < b

a)\(A=\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{49}}+\frac{1}{2^{50}}\)

\(2A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{48}}+\frac{1}{2^{49}}\)

\(A=1-\frac{1}{2^{50}}

Bạn Detective_conan giải đúng đấy!

a) Vì từ (-1) đến (-2020) có 2020 số hạng nên tích \(\left(-1\right)\left(-2\right)\left(-3\right)\cdot...\cdot\left(-2020\right)\) sẽ là số dương vì đây là tích của những số âm có số số hạng là số chẵn

hay \(\left(-1\right)\left(-2\right)\left(-3\right)\cdot...\cdot\left(-2020\right)>0\)

b) 

Vì từ (-1) đến (-2021) có 2021 số hạng nên tích \(\left(-1\right)\left(-2\right)\left(-3\right)\cdot...\cdot\left(-2021\right)\) sẽ là số âm vì đây là tích của những số âm có số số hạng là số lẻ

hay \(\left(-1\right)\left(-2\right)\left(-3\right)\cdot...\cdot\left(-2021\right)< 0\)

Đặt a=1000^2012 thì \(A=\frac{a+2}{a-1}\)   ;   \(B=\frac{a}{a-3}\)

Xét    \(A-B=\frac{a+2}{a-1}-\frac{a}{a-3}=\frac{\left(a+2\right)\left(a-3\right)-a\left(a-1\right)}{\left(a-1\right)\left(a-3\right)}\)

                      \(=\frac{a^2-a-6-a^2+a}{\left(a-1\right)\left(a-3\right)}=\frac{-6}{\left(a-1\right)\left(a-3\right)}\)

Do \(a>1;a>3\)  nên \(\left(a-1\right)\left(a-3\right)>0\Leftrightarrow A-B< 0\)

 Do đó \(A>B\)

ta có 

\(B=1+\left(1-\frac{1}{2}\right)+..+\left(1-\frac{1}{100}\right)\)

\(=1+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+..+\frac{99}{100}=A\)

Vậy A=B

A=\(\frac{1-2^2}{2^2}.\frac{1-3^2}{3^2}...\frac{1-100^2}{100^2}\)

trong biểu thức trên có 99 số âm nên tích sẽ âm nên ta có thể viết lại như sau:

A=-\(\frac{2^2-1}{2^2}.\frac{3^2-1}{3^2}...\frac{100^2-1}{100^2}\),

Chú ý: \(a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)

do vậy: A=-\(\frac{1.3}{2^2}.\frac{2.4}{3^2}...\frac{99.101}{100^2}=\frac{1.2.3...100.101}{2^2.3^2...100^2}=\frac{-101}{100!}>\frac{-101}{2.101}=\frac{-1}{2}\)

Vậy A>\(-\frac{1}{2}\)

b) Đặt \(C=\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+....+\frac{1}{4^{1000}}\)

\(\frac{1}{4}A=\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+.......+\frac{1}{4^{1001}}\)

\(A-\frac{1}{4}A=\left(\frac{1}{4^2}-\frac{1}{4^2}\right)+\left(\frac{1}{4^3}-\frac{1}{4^3}\right)+.....+\frac{1}{4}-\frac{1}{4^{1001}}\)

\(\frac{3}{4}A=\frac{1}{4}-\frac{1}{4^{1001}}\)

Đến đây Đặt \(\frac{3}{4}B=\frac{1}{4}\)

Ta có: \(\frac{3}{4}A

À thì ra bạn học cùng trường với Nguyễn Âu Hồng Sơn