\(\frac{a^3+b^3-c^3+3abc}{\left(a-b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2}=\frac{\left(a+b\right)^3-c^3-3ab\left(a+b\right)+3abc}{2a^2+2b^2+2c^2-2ab+2bc+2ac}\)

                                                                     \(=\frac{\left(a+b-c\right)\left[\left(a+b\right)^2+c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b-c\right)}{2a^2+2b^2+2c^2-2ab+2bc+2ac}\)

                                                                     \(=\frac{\left(a+b-c\right)\left(a^2+2ab+b^2+ac+bc+c^2-3ab\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2-ab+bc+ac\right)}\)

                                                                       \(=\frac{a+b-c}{2}\)

a) \(\frac{a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)}{ab^2-ac^2-b^3+bc^2}\)

\(=\frac{a^2b-a^2c+b^2c-b^2a+c^2\left(a-b\right)}{ab^2-b^3-ac^2+bc^2}\)

\(=\frac{\left(a^2b-b^2a\right)+\left(b^2c-a^2c\right)+c^2\left(a-b\right)}{b^2\left(a-b\right)-c^2\left(a-b\right)}\)

\(=\frac{ab\left(a-b\right)+c\left(b^2-a^2\right)+c^2\left(a-b\right)}{\left(b^2-c^2\right)\left(a-b\right)}\)

\(=\frac{ab\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\left(a+b\right)+c^2\left(a-b\right)}{\left(b-c\right)\left(b+c\right)\left(a-b\right)}\)

\(=\frac{ab-c\left(a+b\right)+c^2}{\left(b-c\right)\left(b+c\right)}\)

\(=\frac{ab-ac+c^2-bc}{\left(b-c\right)\left(b+c\right)}\)

\(=\frac{a\left(b-c\right)-c\left(b-c\right)}{\left(b-c\right)\left(b+c\right)}\)

\(=\frac{\left(b-c\right)\left(a-c\right)}{\left(b-c\right)\left(b+c\right)}\)

\(=\frac{a-b}{b+c}\)

Sửa lại: \(\frac{a-c}{b+c}\)

Sửa đề: \(P=\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}\)

\(P=\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}\)

\(P=\frac{\left(a+b\right)^3+c^3-3abc-3a^2b-3ab^2}{a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2}\)

\(P=\frac{\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right).c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)}{2.\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)}\)

\(P=\frac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab-ac-bc+3ab\right)}{2.\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)}\)

\(P=\frac{5\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)}{2.\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)}\)( a+b+c=0)

\(P=\frac{5}{2}\left[\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ne0\right]\)

Ta có \(P=\frac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)}{a^2-ab+b^2+b^2-bc+c^2+c^2-ac+a^2}\)

\(=\frac{5\left(...\right)}{2\left(...\right)}=\frac{5}{2}\)

phân tích tử thức: 

\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)

Phân tích mẫu thức:\(\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3=3\left(ab^2-a^2b+bc^2-b^2c+ca^2-c^2a\right)\)

\(=3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)

\(\Rightarrow A=\frac{3\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)}{3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

a 3 + b 3 + c 3 = 3abc⇔a 3 + b 3 + c 3 − 3abc = 0

⇔ a + b 3 − 3ab a + b + c 3 − 3abc = 0

⇔ a + b 3 + c 3 − 3ab a + b + 3abc = 0

⇔ a + b + c a 2 + b 2 + c 2 + 2ab − ac − bc − 3ab a + b + c = 0

⇔ a + b + c a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ac = 0

⇔ 2 a + b + c a − b 2 + b − c 2 + c − a /2 = 0

Vì a,b,c > 0 nên a+b+c > 0

Do đó : a − b 2 = 0

             b − c 2 = 0 

             c − a 2 = 0

⇒a = b = c

k cho mk nha

\(A=\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3}.\)

Áp dụng: (a+b+c)³=a³+b³+c³+3(a+b)(b+c)(c+a) => a³+b³+c³=(a+b+c)³-3(a+b)(b+c)(c+a)=27-3(a+b)(b+c)(c+a)

=> \(A=\frac{27-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-3abc}{a^3-3a^2b+3ab^2-b^3+b^3-3b^2c+3bc^2-c^3+c^3-3c^2a+3ca^2-a^3}.\)

\(A=\frac{27-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-3abc}{-3a^2b+3ab^2-3b^2c+3bc^2-3c^2a+3ca^2}\)=> \(A=\frac{9-\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-abc}{-a^2b+ab^2-b^2c+bc^2-c^2a+ca^2}\)

Ta có: (a+b)(b+c)(c+a)=(3-c)(3-b)(3-a)=27-9a-9b-9c+3ab+3ac+3bc-abc=27-9(a+b+c)+3(ab+bc+ca)-abc=3(ab+bc+ca)-abc

Và: -a²b+ab²-b²c+bc²-c²a+ca²=(a-b)(b-c)(c-a)

=> \(A=\frac{9-3\left(ab+bc+ca\right)+abc-abc}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)\(A=\frac{9-3\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)