Question

Rút gọn

D=\(\frac{a^3-b^3+c^3+3abc}{\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2}\)

Answer 1

a^3 +c^3 = (a+c). (a^2 -a.c+c^2)

 = (a+c)^3 -3 ac.(a+c)

 => a^3+c^3-3abc+b^3 =(a+c)^3-3ac (a+c)-3abc +b^3

=(a+c)^3+b^3 -3ac (b+(a+c))

=(a+c+b). ((a+c)^2-(a+c).b+b^2) -3ac (a+c+b)

 =(a+c+b)^3-3(a+c)b. (a+c+b)-3ac (a+c+b)

 =(a+c+b)((a+c+b)^2  -3ab-3bc-3ac) (1)

 (a-b)^2 + (b-c)^2 +(a-c)^2 

 = 2a^2 +2b^2+2c^2 -2ab-2bc-2ac

 =2 (a^2+b^2+c^2-ac-ab-bc)

 =2((a+b)^2-3ab +c^2 -ac-bc)

 =2 ((a+b+c)^2-2(ac+bc)-3ab-ac-bc)

 =2 (( a+c+b)^2 -3ab-3bc -3ac) (2)

Từ (1),(2) =>(a^3+b^3+c^3-3abc)/((a-b)^2

+(b-c)^2+(c-a)^2)

=(a+b+c)/2