Câu a:

TH1 : $n = 3k$

thì $2^n - 1 = 2^{3k} - 1 = 8^k - 1 = (8-1)A = 7A$ chia hết cho $7$

TH2 : $n = 3k+1$

thì $2^n - 1 = 2^{3k+1} - 1 = 2\cdot 8^{k} - 1 = 2(8^k - 1) + 1 = 2\cdot (8-1)A + 1 = 2\cdot 7A + 1$ chia $7$ dư $1$ nên $2^n-1$ không chia hết cho $7$

TH3 : $n = 3k+2$

thì $2^n - 1 = 2^{3k+2} - 1 = 4\cdot 8^k - 1 = 4(8^k - 1) + 3 = 4\cdot (8 - 1)A + 3 = 4\cdot 7A + 3$ chia $7$ dư $3$ nên $2^n-1$ không chia hết cho $7$

Vậy với mọi $n \in \mathbb{Z^+}$ chia hết cho $3$ thì $2^n-1$ chia hết cho $7$

-Nguyễn Thành Trương-

Câu 1b)

+ Với n = 2 ⇒ 3^2−1=8 chia hết cho 8
+ Giả sử với n = k ( k > 1) thì 3^k−1 cũng chia hết cho 8
+ Ta phải chức minh với n = k + 1 thì 3^n − 1 cũng chia hết cho 8 3^n−1=3^k+1−1=3.3^k−1=3.3^k−3=8=3(3^k−1)+8
Ta có 3^k−1 chia hết cho 8
⇒3(3^k−1)chia hết cho 8; 8 chia hết cho 8
=> 3^k+1−1 chia hết cho 8
Kết luận 3^n−1 chia hết cho 8 với n∈N

1d)

109^{345}=109^{3.115}=(109^{Q(14)})^{115}

\(109^3\equiv1\left(mod7\right)\)

\(\Rightarrow109^{\left(3k+r\right)}\equiv109^r\left(mod7\right)\)

Mà: 345 = 0 (mod 7)

\(\Rightarrow109^{345}=109^{\left(3.115+0\right)}\equiv109^0=1\left(mod7\right)\)

\(\Rightarrow109^{345}:7\)dư 1

Trừ số đó đi 9, nó sẽ chia hết cho 11 và 14. Gọi số đó là A, số mới là B. Ta có :

B : 11 = 1/11 của B

B : 14 = 1/14 của B

Hai phép tính trên chênh lệch nhau là :

1/11 - 1/14 = 3/154 ( B )

Vậy 3/154 của B là 3

Số B là :

3 : 3/154 = 154

Số A là :

154 + 9 = 163

           Đ/S : ....

Chúc bạn học tốt ^_^