Xét dãy số: 1; 11; 111; 1111; ...; 111...1 (32 số 1)

Ta đã biết 1 số tự nhiên khi chia cho 31 chỉ có thể có 31 loại số dư là dư 0; 1; 2; ...; 30. Có 32 số mà chỉ có 31 loại số dư nên theo nguyên lí Đirichlet sẽ có ít nhất 2 số cùng dư

Hiệu của 2 số này chia hết cho 31 và chỉ gồm toàn chữ số 0 và 1 (đpcm)

Bạn gọi như sau:
a1=7
a2=77
a3=777
......
a32=77777.....7777(gồm 32 số 7)
Đem chia cho 31 ta có 32 số số dư
R1;R2:R3;R4;....:R32 nhưng chỉ nhận 31 giá trị(0;1;2;3;4;5;6;.....;30) nên sẽ có 2 số dư trùng nhau
chẳng hạn Rm=Rn (Với m>n) thì am-an chia hết cho 31 (vì đồng dư),ta lại có
777..7(gồm m chữ số 7)-77...7(gồm n chữ số 7)=777...7(gồm m-n số 7)00....0(gồm n số 0)=777...7 nhân 10^n chia hết cho 31
vi 10^n và 31 là hai số nguyên tố cùng nhau nên suy ra 777..7 chia hết cho 31 .
Vì bài này chỉ chứng minh chứ ko phải tìm số nhé :D 

Xét 1994 số

a₁=1

a₂=11

...

a₁₉₉₄=11..11 (1994 số 11)

Theo nguyên lí Dirichlet tồn tại 2 trong 1994 số trên có cùng số dư khi chia cho 1993

Giả sử 2 số đó là a_m và a_n với 1≤m<n≤1994

Hiệu a_n−a_m=11..11×10^x   (y chữ số 1,y≥1) chia hết cho 1993

Vì (10^x,1993) = 1 nên 11..11 (y chữ số 1) chia hết cho 1993

Do đó có đpcm

cảm ơn bạn nhiều

11111111

111111111111 là đáp án ko tin bạn thứ tính đi

1.1111111e+13

nk nghĩ là số 222222222222 đó

đáp án là 2222222222223

222222222222

mn trả lời nhanh hộ mk vs mk tích điểm cho

2 đề trên 

có..

mâu thuẫn

Chọn bộ 13 số sau:
1,11,...111111 (13 chữ số 1)
Đem chia 13 số trên cho 12.
Theo nguyên lý Diricle thì tồn tại 2 số trong 14 số trên có cùng số dư khi đem chia cho 13. Ta gọi 2 số đó là 111..111 (m chữ số 2) và 111.111 (n chữ số 2) m,n trong khoảng 1 đến 13
Không mất tính tổng quát, giả sử m>n.
Do 2 số trên có cùng số dư khi chia 12 nên
[111.111 (m chữ số 2) - 111.111 (n chữ số 2)] chia hết cho 12
=>111.11100...000 (m-n chữ số 2; n chữ số 0) chia hết cho 12
hay 111.111(m-n chữ số 2).10^n chia hết cho 12
=>111.111 (m-n chữ số 2) chia hết cho 12
=> đpcm.