S

AQ = DA - DQ = DA - \(\dfrac{3}{4}\)DA = \(\dfrac{1}{4}\)DA

S_AMQ = \(\dfrac{1}{4}\)S_AMD (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh M xuống đáy AD và AQ = \(\dfrac{1}{4}\)AD)

S_AMD = \(\dfrac{1}{3}\)S_ABD ( vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh D xuống đáy AB và AM = \(\dfrac{1}{3}\)AB)

S_ABD =  \(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD(vì ABCD là hình chữ nhật)

S_AMQ = \(\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}\)S_ABCD = 216\(\times\) \(\dfrac{1}{24}\) = 9 (cm²)

S_MBN  = \(\dfrac{2}{3}\)S_BCM (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh M xuống đáy BC và BN = \(\dfrac{2}{3}\)BC)

BM = AB - AM = AB - \(\dfrac{1}{3}\)AB = \(\dfrac{2}{3}\)AB

S_BCM  = \(\dfrac{2}{3}\)S_ABC (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh C xuống đáy AB và BM = \(\dfrac{2}{3}\)AB)

S_ABC = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD (vì ABCD là hình chữ nhật)

S_MBN = \(\dfrac{2}{3}\times\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{2}\)S_ABCD = 216\(\times\)\(\dfrac{2}{9}\) = 48 (cm²)

CN = BC - BN = BC - \(\dfrac{2}{3}\)BC = \(\dfrac{1}{3}\)BC 

S_CPN = \(\dfrac{1}{3}\)S_PBC (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh P xuống đáy BC và CN = \(\dfrac{1}{3}\)BC)

S_PBC  = \(\dfrac{2}{3}\)S_BCD (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh B xuống đáy CD và CP = \(\dfrac{2}{3}\)CD)

S_BCD = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD (vì ABCD là hình chữ nhật)

S_CPN = \(\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{2}\)S_ABCD =  216 \(\times\) \(\dfrac{1}{9}\) = 24 (cm²)

S_DPQ  = \(\dfrac{3}{4}\)S_DPA (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh P xuống đáy DA và DQ = \(\dfrac{3}{4}\)DA)

DP = CP - DC = DC - \(\dfrac{2}{3}\)DC = \(\dfrac{1}{3}\)DC 

S_DPA = \(\dfrac{1}{3}\)S_ACD(vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy CD và DP = \(\dfrac{1}{3}\)DC)

S_ACD = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD(vì ABCD là hình chữ nhật) 

S_DPQ = \(\dfrac{3}{4}\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}\) S_ABCD = 216 \(\times\) \(\dfrac{1}{8}\) = 27 (cm²)

S_MNPQ = 216 - (9+ 48 + 24 + 27) = 108(cm²)

Đáp số: 108 cm²

 

 

 

S_MNPQ = \(\dfrac{1}{2}\) x S_ABCD = 288 (cm²)

HD: Hình chữ nhật chia thành 4 hình tam giác vuông và hình thoi MNPQ

 Ta thấy rằng \(\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{AQ}{AD}\), mà \(BC=AD\) nên \(BN=AQ\), cũng có nghĩa ABNQ và CDQN là các hình chữ nhật. Ta kẻ MH và PK vuông góc với QN. Khi đó \(S_{MNPQ}=S_{MNQ}+S_{PNQ}\) 

\(=\dfrac{1}{2}\times PQ\times MH+\dfrac{1}{2}\times PQ\times PK\) 

\(=\dfrac{1}{2}\times PQ\times\left(MH+PK\right)\) 

\(=\dfrac{1}{2}\times AB\times BC\) (do \(PQ=AB\) và \(MH+PK=BC\))

\(=\dfrac{1}{2}\times S_{ABCD}\)

\(=\dfrac{1}{2}\times324=162\left(cm^2\right)\)

Phải sửa lại như thế này nhé. Nãy mình nhầm.

HD:

Tính diện tích các tam giác vuông: AMQ; MBN; NCP và PDQ

Lấy diện tích hình chữ nhật ABCD trừ đi tổng diện tích 4 tam giác vuông trên sẽ được diện tích hình tứ giác MNPQ

cko e  đáp án

 

Hình tớ vẽ hơi xấu, bạn thông cảm nhé.

Ta có \(S\Delta AMQ=\dfrac{1}{2}.AM.AQ=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}AB.\dfrac{1}{3}AD\)

\(=\dfrac{1}{12}.288=24\left(cm^2\right)\)

   \(S\Delta MBN=\dfrac{1}{2}MB.BN=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}AB.\dfrac{1}{4}BC\)

\(=\dfrac{1}{16}.288=18\left(cm^2\right)\)

   \(S\Delta QDP=\dfrac{1}{2}QD.DP=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}AD.\dfrac{2}{3}DC\)

\(=\dfrac{2}{9}.288=64\left(cm^2\right)\)

  \(S\Delta NPC=\dfrac{1}{2}.NC.CP=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{4}BC.\dfrac{1}{3}.DC\)

\(=\dfrac{1}{8}.288=36\left(cm^2\right)\)

\(S_{MNPQ}=288-36-64-18-24=146\left(cm^2\right)\)

DQ + QA = DA ⇒ QA = DA - DQ = DA - \(\dfrac{2}{3}\)DA = \(\dfrac{1}{3}\)DA

S_AMQ = \(\dfrac{1}{3}\)S_{ADM( Vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh M xuống đáy AD và AQ = \(\dfrac{1}{3}\)AD)} 

S_ADM = \(\dfrac{1}{2}\)S_{ABD(vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh D xuống đáy AB và AM = \(\dfrac{1}{2}\)AB})

S_ABD = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD(vì ABCD là hình chữ nhật)

⇒S_AMQ = \(\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\)\(\times\)S_ABCD = 288 \(\times\) \(\dfrac{1}{12}\)= 24 (cm²)

S_DPQ = \(\dfrac{2}{3}\)S_{ADP(vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh P xuống đáy AD và DQ = \(\dfrac{2}{3}\)DA)}

DP = DC - CP = DC - \(\dfrac{1}{3}\)DC = \(\dfrac{2}{3}\)DC

S_ADP = \(\dfrac{2}{3}\)S_ACD(Vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy DC và DP = \(\dfrac{2}{3}\) DC)

S_ACD = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD

⇒S_DPQ = \(\dfrac{2}{3}\times\dfrac{2}{3}\times\)\(\dfrac{1}{2}\)\(\times\)S_ABCD = 288 \(\times\) \(\dfrac{2}{9}\)= 64 (cm²)

CN = BC - BN = BC - \(\dfrac{1}{4}\)BC = \(\dfrac{3}{4}\)BC

S_CNP = \(\dfrac{3}{4}\)S_{CBP(vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh P xuống đáy BC và CN = \(\dfrac{3}{4}\)BC)}

S_CBP =  \(\dfrac{1}{3}\)S_BCD(vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh B xuống đấy CD và CP = \(\dfrac{1}{3}\) CD)

S_BCD = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD (vì ABCD là hình chữ nhật)

⇒S_CNP = \(\dfrac{3}{4}\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}\) S_ABCD =  288 \(\times\) \(\dfrac{1}{8}\) = 36 (cm2)

S_BMN = \(\dfrac{1}{4}\)S_BCM (Vì hai  tam giác có chung đường cao hạ từ đỉnh M xuống đáy BC và BN = \(\dfrac{1}{4}\)BC)

S_BCM = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABC(Vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh C xuống đáy AB và BM =\(\dfrac{1}{2}\)AB)

S_ABC =  \(\dfrac{1}{2}\)S_{ABCD(vì ABCD là hình chữ nhật)}

⇒ S_BMN = \(\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\)\(\times\)S_ABCD = 288 \(\times\)\(\dfrac{1}{16}\)  = 18 (cm²)

 S_MNPQ =  S_ABCD  - (S_AMQ +S_DPQ+S_CNP+S_BMN)

Diện tích của MNPQ là:

 288 - (64 + 24 + 36 + 18) =  146 (cm2)

Đáp số: 146 cm2

File: undefined 

File: undefined 

Diện tích tam giác ABM là 1/2 * AB * AM = 1/2 * AB * 1/3 AB = 1/6 * AB^2 Diện tích tam giác BCN là 1/2 * BC * BN = 1/2 * BC * 2/3 BC = 1/3 * BC^2 Diện tích tam giác CDP là 1/2 * CD * CP = 1/2 * CD * PD = 1/6 * CD^2 Diện tích tam giác DAQ là 1/2 * DA * DQ = 1/2 * DA * 1/3 DA = 1/6 * DA^2

Vậy tổng diện tích của 4 tam giác trên là:

1/6 * AB^2 + 1/3 * BC^2 + 1/6 * CD^2 + 1/6 * DA^2

 

Đường chéo AC chia hình chữ nhật ABCD thành hai tam giác có diện tích lần lượt là 1/2 * AC * AB/2 = 1/4 * AC * AB và 1/2 * AC * CD/2 = 1/4 * AC * CD Đường chéo BD cũng chia hình chữ nhật ABCD thành hai tam giác có diện tích lần lượt là 1/2 * BD * BC/2 = 1/4 * BD * BC và 1/2 * BD * DA/2 = 1/4 * BD * DA

Do đó, ta có:

Diện tích tam giác EFG là 1/2 * EF * EG = 1/2 * (AC/2) * (BD/2) = 1/8 * AC * BD

Vậy diện tích hình MNPQ bằng:

2 * diện tích tam giác EFG = 2 * 1/8 * AC * BD = 1/4 * AB * CD

Từ đó, ta suy ra diện tích hình MNPQ là 1/4 diện tích hình chữ nhật ABCD:

Diện tích hình MNPQ = 1/4 * 324 cm^2 = 81 cm^2

` @ L I N H `

Diện tích tam giác ABM là 1/2 * AB * AM = 1/2 * AB * 1/3 AB = 1/6 * AB^2 Diện tích tam giác BCN là 1/2 * BC * BN = 1/2 * BC * 2/3 BC = 1/3 * BC^2 Diện tích tam giác CDP là 1/2 * CD * CP = 1/2 * CD * PD = 1/6 * CD^2 Diện tích tam giác DAQ là 1/2 * DA * DQ = 1/2 * DA * 1/3 DA = 1/6 * DA^2

Vậy tổng diện tích của 4 tam giác trên là:

1/6 * AB^2 + 1/3 * BC^2 + 1/6 * CD^2 + 1/6 * DA^2

Đường chéo AC chia hình chữ nhật ABCD thành hai tam giác có diện tích lần lượt là 1/2 * AC * AB/2 = 1/4 * AC * AB và 1/2 * AC * CD/2 = 1/4 * AC * CD Đường chéo BD cũng chia hình chữ nhật ABCD thành hai tam giác có diện tích lần lượt là 1/2 * BD * BC/2 = 1/4 * BD * BC và 1/2 * BD * DA/2 = 1/4 * BD * DA

Do đó, ta có:

Diện tích tam giác EFG là 1/2 * EF * EG = 1/2 * (AC/2) * (BD/2) = 1/8 * AC * BD

Vậy diện tích hình MNPQ bằng:

2 * diện tích tam giác EFG = 2 * 1/8 * AC * BD = 1/4 * AB * CD

Từ đó, ta suy ra diện tích hình MNPQ là 1/4 diện tích hình chữ nhật ABCD:

Diện tích hình MNPQ = 1/4 * 324 cm^2 = 81 cm^2

 Trước hết ta cần xem xét điều sau: Nếu 2 tam giác có chung đường cao thì tỉ số diện tích giữa 2 tam giác đó bằng tỉ số độ dài 2  cạnh đáy tương ứng.

 Điều này khá dễ thấy vì giả sử có hình vẽ trên thì \(\dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\times AH\times BD}{\dfrac{1}{2}\times AH\times CD}=\dfrac{BD}{CD}\) 

 Tiếp đến, ta có tiếp điều sau: Cho tam giác ABC bất kì. Các điểm E, F lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB. Khi đó \(\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\dfrac{AE\times AF}{AB\times AC}\) (tạm gọi đây là (*))

 Điều này trở nên dễ thấy nhờ điều ta mới đề cập đến ở trên. Vì \(\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABE}}=\dfrac{AF}{AB}\)  và \(\dfrac{S_{ABE}}{S_{ABC}}=\dfrac{AE}{AC}\) nên nhân vế theo vế rồi rút gọn, ta được: \(\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\dfrac{AE\times AF}{AB\times AC}\).

 Bây giờ, ta quay lại bài toán chính.

Áp dụng (*) cho tam giác ABD với 2 điểm M, Q nằm trên AB, AD, ta được \(\dfrac{S_{AMQ}}{S_{ABD}}=\dfrac{AM}{AB}\times\dfrac{AQ}{AD}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}\)   (1)

Tương tự, ta cũng có \(\dfrac{S_{BMN}}{S_{BAC}}=\dfrac{BM}{BA}\times\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{9}\)    (2)

\(\dfrac{S_{CNP}}{S_{CBD}}=\dfrac{CN}{CB}\times\dfrac{CP}{CD}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}\)      (3)

\(\dfrac{S_{DPQ}}{S_{DCA}}=\dfrac{DP}{DC}\times\dfrac{DQ}{DA}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}\)       (4)

 Hơn nữa, nhận thấy rằng diện tích của 4 tam giác ABD, BAC, CBD và DCA đều bằng nhau và bằng \(\dfrac{1}{2}\) diện tích của hình chữ nhật ABCD nên cộng theo vế (1), (2), (3) và (4) suy ra:

 \(\dfrac{S_{AQM}+S_{BMN}+S_{CNP}+S_{DPQ}}{\dfrac{1}{2}S_{ABCD}}=1\), mà tổng diện tích của 4 tam giác AQM, BMN, CNP và DPQ chính bằng \(S_{ABCD}-S_{MNPQ}\) nên ta có \(\dfrac{S_{ABCD}-S_{MNPQ}}{\dfrac{1}{2}S_{ABCD}}=1\) \(\Leftrightarrow S_{ABCD}-S_{MNPQ}=\dfrac{1}{2}S_{ABCD}\) \(\Leftrightarrow S_{MNPQ}=\dfrac{1}{2}S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}.496=216\left(cm^2\right)\)

Vậy \(S_{MNPQ}=216cm^2\)

 

BẠn xem mình có đúng không:))sdádsa

help me

 

Cô còn đang vẽ hình em ơi.

S_AMQ = \(\dfrac{1}{2}\)S_AMD(vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh M xuống đáy AD và AQ = \(\dfrac{1}{2}\)AD)

S_ADM = \(\dfrac{2}{3}\)S_ADB ( vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh D xuống đáy AB và AM = \(\dfrac{2}{3}\)AB)

S_ABD = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD (vì ABCD là hình chữ nhật)

S_AMQ  = \(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{2}\)S_ABCD = 432 \(\times\)\(\dfrac{1}{6}\) = 72 (cm²)

S_BMN = \(\dfrac{2}{3}\)S_BMC (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh M xuống đày BC và BM = \(\dfrac{2}{3}\)BC)

BM = AB - AM = AB - \(\dfrac{2}{3}\)AB = \(\dfrac{1}{3}\)AB

S_BMC = \(\dfrac{1}{3}\)S_ABC (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh C xuống đáy AB và BM = \(\dfrac{1}{3}\)AB)

S_ABC = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD (vì ABCD là hình chữ nhật)

S_BMN = \(\dfrac{2}{3}\)\(\times\)\(\dfrac{1}{3}\)\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD = 432 \(\times\) \(\dfrac{1}{9}\) = 48 (cm²)

S_CNP = \(\dfrac{1}{3}\)S_CND( vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh N xuống đáy CD và CP = \(\dfrac{1}{3}\)CD)

CN = BC - BN  = BC - \(\dfrac{2}{3}\)BC = \(\dfrac{1}{3}\)BC

S_CND = \(\dfrac{1}{3}\)S_BCD (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh D xuống đáy BC và CN = \(\dfrac{1}{3}\)BC)

S_BCD = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD (vì ABCD là hình chữ nhật)

S_CPN = \(\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}\)S_ABCD = 432 \(\times\) \(\dfrac{1}{18}\) = 24 (cm²)

S_DPQ = \(\dfrac{1}{2}\)S_{APD (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh P xuống đáy AD và DQ = \(\dfrac{1}{2}\)AD)}

PD = CD - CP = CD - \(\dfrac{1}{3}\)CD = \(\dfrac{2}{3}\)CD 

S_APD = \(\dfrac{2}{3}\)S_ACD (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy CD và  PD = \(\dfrac{2}{3}\)CD)

S_ACD = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD (vì ABCD là hình chữ nhật)

S_DPQ  = \(\dfrac{1}{2}\)\(\times\)\(\dfrac{2}{3}\times\)\(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD = 432 \(\times\)\(\dfrac{1}{6}\) =  72 (cm²)

Diện tích của tứ giác MNPQ là:

432 -  (72 + 48 + 24 + 72) = 216 (cm²)

Đáp số 216 cm²