Lời giải:

Gọi $d=ƯCLN(9n+24, 3n+4)$

$\Rightarrow 9n+24\vdots d; 3n+4\vdots d$

$\Rightarrow 9n+24-3(3n+4)\vdots d$

$\Rightarrow 12\vdots d$

Để $9n+24, 3n+4$ nguyên tố cùng nhau thì $d=1$, tức là $(12,d)=1$. Mà $12=2^2.3$ nên $(12,d)=1$ khi mà $(2,d)=(3,d)=1$

$\Leftrightarrow 9n+24, 3n+4$ không đồng thời chia hết cho 2 và 3.

------------------------

$9n+24, 3n+4$ không đồng thời chia hết cho 2 khi mà $3n+4\not\vdots 2$

$\Leftrightarrow 3n\not\vdots 2$

$\Rightarrow n\not\vdots 2$ hay $n$ lẻ.

$9n+24, 3n+4$ không đồng thời chia hết cho 3 khi mà $3n+4\not\vdots 3$ (do $9n+24$ đã chia hết cho 3 rồi) 

Hiển nhiên $3n+4\not\vdots 3$ do $4\not\vdots 3$

Vậy tóm lại chỉ cần $n$ lẻ là 2 số trên nguyên tố cùng nhau

mình nghĩ là ko có số nào cả xin lỗi nhé

Có số mà bạn

1. Xét n chẵn, hai số đều chẵn => ko nguyên tố cùng nhau
2. Xét n lẻ, ta chứng minh 2 số này luôn nguyên tố cùng nhau
9n+24 = 3(3n+8)
Vì 3n+4 không chia hết cho 3, nên ta xét tiếp 3n+8
Giả sử k là ước số của 3n+8 và 3n+4, đương nhiên k lẻ (a)
=> k cũng là ước số của (3n+8)-(3n+4) = 4 => k chẵn (b)
Từ (a) và (b) => Mâu thuẫn
Vậy với n lẻ, 2 số đã cho luôn luôn nguyên tố cùng nhau

nhung vi sao co 3n+4

k là ước của 4 thì đúng, nhưng sao k lại chẵn ?????????

4 cũng có một ước lẻ là 1 mà .

Đoạn cuối lẽ ra phải giải như sau:

k cũng là ước của ( 3n + 8 ) - ( 3n + 4 ) = 4 . Mà k lẻ => k = 1. 

=> với n lẻ, hai số trên nguyên tố cùng nhau

Đặt \(9n+24;3n+4=d\left(d\inℕ^∗\right)\)

\(9n+24⋮d\)

\(3n+4⋮d\Rightarrow9n+12⋮d\)

Suy ra : \(9n+24-9n-12⋮d\Rightarrow12⋮d\)( ktm ) 

ta có : 

\(9n+24-3\times\left(3n+4\right)=12\)

vậy 9n+24 và 3n +4 nguyên tố cùng nhau khi 12 và 3n+4 nguyên tố cùng nhau.

3n+4 không chia hết cho 3 và 4 thì điều kiện cần và đủ là n lẻ

vậy với mọi n lẻ ta luôn có 9n+24 và 3n+4 là nguyên tố cùng nhau

\(Taco::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::\)

\(GỌi:ƯCLN\left(2n+1;7n+2\right)=d\Rightarrow7\left(2n+1\right)-2\left(7n+2\right)⋮d\Rightarrow3⋮d\)

Để 2n+1 và 7n+2 nguyên tố cùng nhau thì: 2n+1 hoặc 7n+2 ko chia hết cho 3

Giả sử: 2n+1 chia hết cho 3

=> 2n+1-3 chia hết cho 3

=> 2n-2 chia hết cho 3

=> 2(n-1) chia hết cho 3=> n-1 chia hết cho 3

Giả sử: 7n+2 chia hết cho 3

=> 7n+2-9 chia hết cho 3

=>.........

Vậy với n khác 3k+1;3k+2 thì thỏa mãn

MK nhầm chỉ khác 3k+1 nha bỏ đoạn dưới

Thank you nha!

Câu hỏi tương tự nha

1.c)1. Xét n chẵn, hai số đều chẵn → không nguyên tố cùng nhau 
2. Xét n lẻ, ta chứng minh 2 số này luôn nguyên tố cùng nhau 
9n+24=3(3n+8)
Vì 3n+4 không chia hết cho 3, nên ta xét tiếp 3n+8 
Giả sử k là ước số của 3n+8 và 3n+4, đương nhiên k lẻ (a) 
→k cũng là ước số của (3n+8)−(3n+4)=4 ->chẵn (b)
Từ (a) và (b)→ Mâu thuẫn 
Vậy với nn lẻ, 2 số đã cho luôn luôn nguyên tố cùng nhau

=> k cũng là ước số của (3n+8)-(3n+4) = 4 => k chẵn (b) 
Từ (a) và (b) => Mâu thuẫn" 

Mâu thuẫn do người giải lập luận không chặt chẽ 

=> k cũng là ước số của (3n+8)-(3n+4) = 4 => k chẵn (b)" 

Tại sao lại "=> k chẵn" để rồi có mâu thuẫn???. 4 đâu chỉ có ước chẵn? Nó còn có ước lẻ là 1!!!!!!!!!!!!!!! 

Lập luận phải là: 
=> k cũng là ước số của (3n+8)-(3n+4) = 4 => k = 1 do k lẻ 
=> 3n+8 và 3n+4 nguyên tố cùng nhau