\(VT^2\ge\left(1+1+1+1\right)\left(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{d+a+b}+\frac{d}{b+a+c}\right)\ge4.1=4\)

=> VT >/ 2

Dễ CM được \(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{d+a+b}+\frac{d}{b+a+c}\ge1\)

\(\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\)

\(=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}+\frac{b}{\sqrt{b\left(c+d+a\right)}}+\frac{c}{\sqrt{c\left(d+a+b\right)}}+\frac{d}{\sqrt{d\left(a+b+c\right)}}\)

\(\ge\frac{a}{\frac{a+b+c+d}{2}}+\frac{b}{\frac{b+c+d+a}{2}}+\frac{c}{\frac{a+b+c+d}{2}}+\frac{d}{\frac{a+b+c+d}{2}}=2\)

Dấu '' = '' xảy ra khi a = b + c+ d 

                              b = c+d+a 

                            c = b+a+d

                             d = a+b+c 

Hình như ko có a ; b; c ;d 

Ta có :   2a + b + c+ d / a - 1 = a + 2b + c + d / b - 1 = a + b + 2c + d / c - 1 = a + b + c +2d / d - 1

  => a + b + c + d / a =  a + b + c + d / b = a + b + c + d / c = a + b + c + d / d

Xét 2 trường hợp : 

TH1:   a + b + c + d = 0

=> a + b = - ( c + d )   ;   b + c = - ( a + d )   ;   c + d = - ( a + b )

Khi đó M = ( -1 ) . 4 = -4

TH2 :  a + b + c + d  khác 0 

=> a = b = c = d

Khi đó M = 1 . 4 = 4

Vậy M = 4 hoặc M = - 4

\(\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+d}+\frac{c+d}{c+d+a}+\frac{d+a}{d+a+b}>2\)

Ta có :

\(\frac{a+b}{a+b+c}>\frac{a+b}{a+b+c+d}\)  ;   \(\frac{b+c}{b+c+d}>\frac{b+c}{a+b+c+d}\)

\(\frac{c+d}{c+d+a}>\frac{c+d}{a+b+c+d}\)  ;  \(\frac{d+a}{d+a+b}>\frac{d+a}{a+b+c+d}\)

(Những bất đẳng thức này có được là vào tính chất của phân số : Trong hai phân số có cùng tử số thì phân số nào có mẫu bé hơn thì lớn hơn và ngược lại)

Cộng tùng vế của các bất đẳng thức ta được:

\(\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+d}+\frac{c+d}{c+d+a}+\frac{a+d}{d+a+b}>\frac{2\left(a+c+c+d\right)}{a+b+c+d}\)

\(\Leftrightarrow dpcm\)

TK MK nka !!! Mà bạn ở đâu z ?

Cho minh hoi ban Thanh Pho nao vay

Phan Rang Tháp Chàm bạn ơi

bài này thật ra không khó chỉ cần tách đúng là được à bạn thử ngồi tách xem đi 

rồi được rồi nhưng hơi dài nên mình sẽ viết 2 lần nhé

do a;b;c;d bình đẳng với nhau nên ta đặt \(a\ge b\ge c\ge d>0\).Ta có:

Đặt cả cái bài là A => \(A\ge\frac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)+\left(b-c\right)\left(b-d\right)+\left(c-d\right)\left(c-a\right)+\left(a-d\right)\left(b-d\right)}{3a}\)

đặt cái trên nhé là B => \(B=\frac{a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd}{3a}\)

mà \(a^2+b^2+c^2+d^2\ge2ac+2bd\)=> \(a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd\ge0\)=> \(B\ge0\)=>\(A\ge B\ge0\)

Vậy đó là điều phải chứng minh

Áp dụng bđt Cosi ta có: \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge2;\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2;\frac{c^2}{c+d}+\frac{c+d}{4}\ge2\)\(;\frac{d^2}{d+a}+\frac{d+a}{4}\ge2\)

Cộng theo vế và a+b+c+d=1 ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{a^2}{a+b}=\frac{a+b}{4};\frac{b^2}{b+c}=\frac{b+c}{4};\frac{c^2}{c+d}=\frac{c+d}{4};\frac{d^2}{d+a}=\frac{d+a}{4}\\\\a=b=c=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}\)

Bunyakovsky dạng phân thức

Theo bất đẳng thức Svacxo :

\(VT\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{2\left(a+b+c+d\right)}=\frac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=d=\frac{1}{4}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh

cái này mà là của lớp 3 à. Sao khó thế

cái này ít nhất cũng phải lớp 6 lớp 7

Đặt \(S=\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{c+d+a}+\frac{c}{d+a+b}+\frac{d}{a+b+c}\)

\(=\frac{a^2}{ab+ac+ad}+\frac{b^2}{bc+bd+ab}+\frac{c^2}{cd+ac+bc}+\frac{d^2}{ad+bd+cd}\)

Theo Svac-xơ thì \(S\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\)

\(=\frac{a^2+b^2+c^2+d^2+2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}{2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\)

Ngoài ra ta có : \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab;a^2+c^2\ge2ac;a^2+d^2\ge2ad\\b^2+c^2\ge2bc;b^2+d^2\ge2bd;c^2+d^2\ge2cd\end{cases}}\)

\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\)

\(\Rightarrow S\ge\frac{\frac{8}{3}\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}{2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\)

Đặt \(P=\frac{b+c+d}{a}+\frac{c+d+a}{b}+\frac{d+a+b}{c}+\frac{a+b+c}{d}\)

\(=\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{d}{a}+\frac{c}{b}+\frac{d}{b}+\frac{a}{b}+\frac{d}{c}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{a}{d}+\frac{b}{d}+\frac{c}{d}\)

\(=\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{d}{a}+\frac{a}{d}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{d}{b}+\frac{b}{d}\right)+\left(\frac{c}{d}+\frac{d}{c}\right)\)

\(\ge2.6=12\)

\(\Rightarrow M=S+P\ge\frac{5}{6}+12=12\frac{5}{6}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = d

a/b+c+d>a/a+b+c+d

b/a+c+d>b/a+b+c+d

c/a+b+d>c/a+b+c+d

d/a+b+c>d/a+b+c+d

mả  a+b+c+d/a+b+c+d=1

=>a/b+c+d+b/a+c+d+c/a+b+d+d/a+b+c> hoac =1

Vay...