Để \(\frac{x+5}{2x-2}\inℤ\) thì \(\left(x+5\right)⋮\left(2x-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[2\left(x+5\right)\right]⋮\left(2x-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[2x+10\right]⋮\left(2x-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[2x-2+10\right]⋮\left(2x-2\right)\)

Vì \(\left[2x-2\right]⋮\left(2x-2\right)\) nên \(10⋮\left(2x-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-2\right)\inƯ\left(10\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm5;\pm10\right\}\)

ĐKXĐ : \(x\ne1\)

\(\frac{x+5}{2x-2}=\frac{x-1+6}{2\left(x-1\right)}=\frac{2-1}{2\left(x-1\right)}+\frac{6}{2\left(x-1\right)}=\frac{1}{2}+\frac{3}{x-1}\)

\(\Rightarrowđể\frac{x+3}{2x-2}\)có giá trị nguyên thì \(x-1\inƯ\left(3\right)\Rightarrow x-1\in\left\{-1;-1;1;3\right\}\) 

vậy để \(\frac{x+5}{2x-2}\)có giá trị nguyên thì \(x\in\left\{-2;0;2;4\right\}\)

để x là số nguyên thì x+5 chia hết cho 2x-2

x+5 chia hết cho 2x-2 suy ra 2.(x+5) chia hết cho 2x-2

2x-2 chia hết cho 2x-2

suy ra 2.(x+5) - 2x-2 chia hết cho 2x-2

2x+10-2x-2 chia hết cho 2x-2

8 chia hết cho 2x-2

2x-2 thuộc ước của 8 thuộc {1,2,4,8,-1,-2,-4,-8}

2x thuộc {3,4,6,10,1,0,-2,-6}

x thuộc {3/2,2,3,5,1/2,0,-1,-3}

mà x là số nguyên nên thuộc {2,3,5,0,-1,-3}

\(\frac{2x+5}{x+5}\in Z\Leftrightarrow2x+5⋮x+5\Leftrightarrow-5⋮x+5\Leftrightarrow x+5\in\left\{-1;1-5;5\right\}\Leftrightarrow x\in\left\{-6;-4;0;-10\right\}\)

TL:

\(\frac{2x+5}{x+5}=\frac{2x+10-5}{x+5}\)

\(=2-\frac{5}{x+5}\) 

Để BT đạt GT nguyên thì \(x+5\inƯ\left(5\right)\) 

\(\Rightarrow x+5\in\left\{\pm1;\pm5\right\}\) 

\(\Rightarrow x\in\left\{-4;-6;0;-10\right\}\) 

Vậy.........

\(\frac{2x+5}{x+5}=\frac{2\left(x+5\right)-5}{x+5}=2-\frac{5}{x+5}\)

Để biểu thức có giá trị nguyên => \(\frac{5}{x+5}\)có giá trị nguyên

=> \(5⋮x+5\)

=> \(x+5\inƯ\left(5\right)=\left\{\pm1;\pm5\right\}\)

Vậy x thuộc các giá trị trên