a: \(AB=\sqrt{15^2-12^2}=9\left(cm\right)\)

b: Xét ΔBAM vuông tại A và ΔBNM vuông tại N có

BM chung

góc ABM=góc NBM

=>ΔBAM=ΔBNM

=>MA=MN

c: Xét ΔBDC có

BE là đừog cao, là phân giác

nên ΔBDC cân tại B

=>BD=BC

BA+AD=BD

BN+NC=BC

mà BD=BC; BA=BN

nên AD=NC

Xét ΔDAC có góc DAC=góc DCA

nên ΔDAC cân tại D

=>M là trung điểm của AC

 tự kẻ hình nha

a)xét tam giác ADB và tam giác ADC có

A1=A2(gt)

AD chung

AB=AC(gt)

=> tam giác ADB= tam giác ADC(cgc)

b) vì tam giác BCE vuông tại C=> BEC+EBC=90 độ=> BEC=90 độ-EBC

ta có ACB+ACE=BCE=90 độ=> ACE=90 độ-BCE

vì tam giác ABC cân A=> ABC=ACB

=> BEC=ACE=90 độ-ABC=> tam giác ACE cân A

c) xét tam giác AME và tam giác AMC có

AE=AC( tam giác ACE cân A)

AME=AMC(=90 độ)

AM chung

=> tam giác AME=tam giác AMC(ch-cgv)

=> EM=CM( hai cạnh tương ứng)

=> M là trung điểm => BM là trung tuyến 

vì AB=AC mà AC=AE=> AB=AE=> A là trung điểm BE=> CA là trung tuyến

từ tam giác ABD= tam giác ACD=> BD=CD (hai cạnh tương ứng)=> D là trung điểm BC=> ED là trung tuyến

Vì ED giao AC tại N mà ED,AC, BM là trung tuyến=> BM, AC,ED giao nhau tại N=> N thuộc BM=> B,N,M thẳng hàng

a) Xét tứ giác ADME có:

∠(DAE) = ∠(ADM) = ∠(AEM) = 90o

⇒ Tứ giác ADME là hình chữ nhật (có ba góc vuông).

b) Ta có ME // AB ( cùng vuông góc AC)

M là trung điểm của BC (gt)

⇒ E là trung điểm của AC.

Ta có E là trung điểm của AC (cmt)

Chứng minh tương tự ta có D là trung điểm của AB

Do đó DE là đường trung bình của ΔABC

⇒ DE // BC và DE = BC/2 hay DE // MC và DE = MC

⇒ Tứ giác CMDE là hình bình hành.

c) Ta có DE // HM (cmt) ⇒ MHDE là hình thang (1)

Lại có HE = AC/2 (tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông AHC)

DM = AC/2 (DM là đường trung bình của ΔABC) ⇒ HE = DM (2)

Từ (1) và (2) ⇒ MHDE là hình thang cân.

d) Gọi I là giao điểm của AH và DE. Xét ΔAHB có D là trung điểm của AB, DI // BH (cmt) ⇒ I là trung điểm của AH

Xét ΔDIH và ΔKIA có

IH = IA

∠DIH = ∠AIK (đối đỉnh),

∠H1 = ∠A1(so le trong)

ΔDIH = ΔKIA (g.c.g)

⇒ ID = IK

Tứ giác ADHK có ID = IK, IA = IH (cmt) ⇒ DHK là hình bình hành

⇒ HK // DA mà DA ⊥ AC ⇒ HK ⊥ AC