Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
gta dat
Xem chi tiết
Phạm Hoàng Bảo Ngọc
14 tháng 9 2020 lúc 15:59

hỏi j khó vậy

Khách vãng lai đã xóa
l҉o҉n҉g҉ d҉z҉
14 tháng 9 2020 lúc 16:01

Sửa VP = \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác

=> a, b, c > 0

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)( cái này bạn tự chứng minh nhé ) ta có :

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{a+b-c+a+c-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)

TT : \(\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+c-b+b+c-a}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)

Cộng theo vế ta có :

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\)

\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)( đpcm )

Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c

Khách vãng lai đã xóa
Phan Nghĩa
14 tháng 9 2020 lúc 19:23

Sử dụng liên tiếp 2 lần bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge2\sqrt[2]{\frac{1}{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}}\)

\(=\frac{2}{\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}}\ge\frac{2}{\frac{a+b-c+b+c-a}{2}}=\frac{2}{\frac{2b}{2}}=\frac{2}{b}\)

Bằng phương pháp chứng minh tương tự ta thu được : 

\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c};\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{2}{a}\)

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được : \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\)

\(< =>2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(< =>\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Khách vãng lai đã xóa
Bui cong minh
Xem chi tiết
gta dat
Xem chi tiết
Edogawa Conan
16 tháng 10 2020 lúc 5:25

Từ a3 + b3 + c3 = 3abc

<=> (a + b)(a2 - ab + b2) + c3 - 3abc = 0

<=> (a + b)3 + c3 - 3ab(a + b) - 3abc = 0

<=> (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 - ac - bc + c2) - 3ab(a + b + c) = 0

<=> (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\left(loại\right)\\a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\end{cases}}\)

<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0

<=> (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0

<=> a = b = c

=> tam giác đó là tam giác đều

b) Áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)

CM đúng (tự cm tđ)

Ta có: \(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)(vì x + y + z = 1)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1/3

Khách vãng lai đã xóa
l҉o҉n҉g҉ d҉z҉
16 tháng 10 2020 lúc 5:27

a) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác => a, b, c > 0

Ta có : a3 + b3 + c3 = 3abc

<=> a3 + b3 + c3 - 3abc = 0

<=> ( a + b )3 - 3ab( a + b ) + c3 - 3abc = 0

<=> [ ( a + b )3 + c3 ] - [ 3ab( a + b ) + 3abc ] = 0

<=> ( a + b + c )( a2 + b2 + c2 + 2ab - ac - bc ) - 3ab( a + b + c ) = 0

<=> ( a + b + c )( a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc ) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\end{cases}}\)

Dễ thấy không thể xảy ra trường hợp a + b + c = 0 vì a, b, c > 0 

Xét TH còn lại ta có :

a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc = 0

<=> 2(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = 2.0

<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0

<=> ( a2 - 2ab + b2 ) + ( b2 - 2bc + c2 ) + ( c2 - 2ac + a2 ) = 0

<=> ( a - b )2 + ( b - c )2 + ( c - a )2 = 0 (*)

Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\\\left(b-c\right)^2\\\left(c-a\right)^2\end{cases}}\ge0\forall a,b,c\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)

=> Tam giác đó là tam giác đều ( đpcm )

Khách vãng lai đã xóa
l҉o҉n҉g҉ d҉z҉
16 tháng 10 2020 lúc 5:33

b) Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(VT\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+2yz+y^2+2xz+z^2+2xy}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{9}{1}=9\)( do GT x + y + z = 1 )

=> đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1/3

Khách vãng lai đã xóa
bui thi nhat linh
Xem chi tiết
Agami Raito
Xem chi tiết
dinh thi ngoc huyen
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Ngọc Thơ
17 tháng 8 2018 lúc 12:42

Ta có:

\(BĐT\Leftrightarrow2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-a^4-b^4-c^4>0\)

\(\Leftrightarrow4a^2b^2-\left(a^2+b^2\right)^2+2c^2\left(a^2+b^2\right)-c^4>0\)

\(\Leftrightarrow\left(2ab\right)^2-\left[\left(a^2+b^2\right)^2-2c^2\left(a^2+b^2\right)+\left(c^2\right)^2\right]>0\)

\(\Leftrightarrow\left(2ab\right)^2-\left(a^2+b^2-c^2\right)^2>0\)

\(\Leftrightarrow\left(2ab-a^2-b^2+c^2\right)\left(2ab+a^2+b^2-c^2\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]\left[c^2-\left(a+b\right)^2\right]>0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(c+b-a\right)\left(c+a-b\right)>0\) (1)

Vì a,b,c lần lượt là độ dài 3 cạnh của tam giác

\(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng

Vậy \(a^4+b^4+c^4< 2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)\)

Thu Anh Kim Chi
Xem chi tiết
Bui cong minh
Xem chi tiết
Bui cong minh
Xem chi tiết
Tạ Duy Phương
26 tháng 10 2015 lúc 22:22

Láo toét dám đăng bài của tạp chí Toán học và tuổi trẻ lên đây để hỏi hả ! Số mới ra mà hỏi thế này thì còn tính gì ! Khôn vừa thôi........