Áp dụng bất đẳng thức Cauchy , ta có : 

\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)

<=> \(xyz\ge3\sqrt[3]{xyz}\)

<=> \(x^3y^3z^3\ge27xyz\)

<=> \(x^2y^2z^2\ge27\)

<=> \(\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\ge3\)

Ta có 

\(P=\frac{1}{x^2+yz+yz}+\frac{1}{y^2+zx+zx}+\frac{1}{z^2+xy+xy}\le\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}\)

                                                                                                                  \(=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}\le\frac{1}{3}\)

Vậy Max = 1/3 

cậu tự mà làm đi sao cứ bắt người khác làm hộ vậy

Bổ đề:  \(\left(mn+np+pm\right)^2\ge3mnp\left(m+n+p\right)\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow m^2n^2+n^2p^2+p^2m^2+2mnp\left(m+n+p\right)\ge3mnp\left(m+n+p\right)\)\(\Leftrightarrow m^2n^2+n^2p^2+p^2m^2\ge mnp\left(m+n+p\right)\)\(\Leftrightarrow m^2n^2+n^2p^2+p^2m^2-mnp\left(m+n+p\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(mn-np\right)^2+\left(np-pm\right)^2+\left(pm-mn\right)^2\ge0\)*đúng*

Vậy bổ đề được chứng minh

Áp dụng vào bài toán, ta được: \(\left(xy+yz+zx\right)^2\ge3xyz\left(x+y+z\right)\)hay \(\left(xy+yz+zx\right)^2\ge3\left(x+y+z\right)\)(Do xyz = 1)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+y+z}\ge\frac{3}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\Rightarrow A\ge\frac{3}{\left(xy+yz+zx\right)^2}-\frac{2}{xy+yz+zx}\)

Đặt \(\frac{1}{xy+yz+zx}=s\)thì \(A\ge3s^2-2s=3\left(s^2-\frac{2}{3}s+\frac{1}{9}\right)-\frac{1}{3}=3\left(s-\frac{1}{3}\right)^2-\frac{1}{3}\ge-\frac{1}{3}\)

Vậy \(A\ge-\frac{1}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x=y=z\\\frac{1}{xy+yz+zx}=\frac{1}{3}\end{cases}}\Rightarrow x=y=z=1\)

Vậy \(MinA=-\frac{1}{3}\), đạt được khi x = y = z = 1

Ta có: \(P=\frac{x+y}{xyz}=\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\ge\frac{4}{yz+zx}\) (BĐT Cauchy-Schwarz)

\(=\frac{4}{\left(x+y\right)z}=\frac{4}{\left(1-z\right)z}=\frac{4}{-z^2+z}=\frac{4}{\left(-z^2+z-\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}}\)

\(=\frac{4}{-\left(z-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}}\ge\frac{4}{\frac{1}{4}}=16\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}x=y\\\left(z-\frac{1}{2}\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=\frac{1}{4}\\z=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Vậy Min(P) = 16 khi \(\hept{\begin{cases}x=y=\frac{1}{4}\\z=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

mình chưa học BĐT Cauchy nên ko hiểu bài cho lắm 

Chứng minh bất đẳng trên như sau nhé:

Với \(a,b>0\) thì hãy CM: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

BĐT cần CM tương đương:

\(\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi: a = b

Rồi sau đó áp dụng vào ta được: \(\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\ge\frac{4}{yz+zx}\) ok chưa bạn?

\(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\Rightarrow ab+bc+ca=1\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{2b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{2c}{\sqrt{1+c^2}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM: \(P=\frac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)

\(\le a\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)+b\left(\frac{1}{4\left(a+b\right)}+\frac{1}{a-b}\right)-c\left(\frac{1}{4\left(b+c\right)}+\frac{1}{a-c}\right)=\frac{9}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{\sqrt{15}}{7};\sqrt{15};\sqrt{15}\right)\)

nhầm câu ba chứ không phải câu 4; câu 3 là d

Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!

Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)

Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0

Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)

(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)

Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)

Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)

Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)

Vậy...

P/s: Ko chắc nha!

dit me may 

bạn bui thai hoc sao lại cmt linh tinh vậy :)) bạn ko có học thức à :> mà ý bạn cmt như vậy là sao hả ?