Ta có : \(MA+MC\ge AC\)

Dấu " = " xảy ra khi M thuộc AC

Ta có :\(MB+MD\ge BD\)

\(\Rightarrow MA+MC+MB+MD\ge AC+BD\)

Dấu " = " xảy ra khi M là giao điểm của AC, BD

Vậy khi M là giao điểm của AC và BD thì MA+MB+MC+MD nhỏ nhất

Theo đề bài ta có :\(MA+MC\ge AC\)

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi \(M\in AC\)

Theo đề bài có : \(MB+MD\ge BD\)

Dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi \(M\in BD\)

\(\Rightarrow MA+MB+MC+MD\ge AC+BD\)

Vậy \(MA+MB+MC+MD\)nhỏ nhất sẽ bằng \(AC+BD\)

\(\Leftrightarrow\)M là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD .

Goi O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD. 
Lay điểm M bat ky ta luôn có: 
MA + MC >= AC (1) 
MB + MD >= BD (2) 
=> MA + MB + MC + MD >= AC + BD khong doi 
=> Min (MA + MB + MC + MD) = AC + BD xảy ra khi đồng thời xảy ra dấu = ở (1) <=> M thuộc AC và dấu = ở (2) <=> M cũng thuộc BD <=> M trùng O

Ung ho mk nhe

Với 3 điểm M, A, C ta có MA+MC  AC
Dấu "=" xảy ra  M thuộc AC
Tương tự với 3 điểm M, B, D
ta có MB+MD  BD
Dấu "=" xảy ra  M thuộc BD
AM+MB+MC+MD  AC+BD (không đổi )
Dấu "=" xảy ra 
 + M thuộc AC  M tại o
+ M thuộc BD
Vậy min ( AM+MB +MC+MD)= AC+BD  M tại O

Ta có AEED =dt(AEN)dt(DEN) =hA→MNhD→MN =dt(AMN)dt(DMN) 

Mà dt(AMN) = 1/4 dt(ABN) = 1/4 . 1/2 dt(ABC) = 1/8 dt(ABC)

      dt(DMN) = dt(ABC) - dt(AMN) - dt(BDM) - dt(CDN) = dt(ABC) - 1/8 dt(ABC) - 3/8 dt(ABC) - 1/4 dt(ABC) = 1/4 dt(ABC)

Vậy AEED =dt(AMN)dt(DMN) =18 dt(ABC)14 dt(ABC) =12 , suy ra AE/AD = 1/3

Cách 2: Giải theo phương pháp bậc THCS (của bạn Lê Quang Vinh)

DN là đường trung bình của tam giác ABC => DN // AB và DN = 1/2 AB

DN // AB => Hai tam giác EAM và EDN đồng dạng => EA/ED = AM/DN = 1/2 (vì AM = 1/4 AB, DN = 1/2 AB)

=> AE/AD = 1/3

k mk nha

\(MA+MB=MC+MD\)

\(\left(MA+MD\right)+\left(MB+MC\right)\)

\(\left(MA+MD\right)\) nhỏ nhất khi \(AMD\) trên đường thẳng

\(\left(MB+MC\right)\) nhỏ nhất khi \(BMC\)  trên đường thẳng

=> GTNN đạt được khi \(M\) là giao hai đường chéo \(AD,BC\)

Mình làm hai cách nhé

Với ba điểm M, A, C => MA + MC ≥ AC

Ta có: MB + MD ≥ BD

AM + MB + MC - MD ≥ AC + BD (Không đổi)

Dấu ''='' xảy ra khi:

+) M thuộc AC <=> M = O

+) M thuộc BD

Vậy GTNN (AM + MB + MC + MD) = AC + BD <=> M = O

Gọi I là giao điểm 

Lấy điểm M bất kì trong tứ giác ABCD

Ta có: \(MA+MC\ge AC\)

\(MB+MD\ge BD\)

nên \(MA+MB+MC+MD\ge AC+BD\)( có giá trị không đổi )

Để MA + MB + MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất thì: 

\(MA+MB+MC+MD=AC+BD\Leftrightarrow"="MA+MC\ge AC\)\(\Rightarrow M\in AC\)

Tương tự xảy ra \("="\Leftrightarrow MB+MD\ge BD\Rightarrow M\in BD\)

Nên M trùng O

Vậy......................

ta có AM+MC> AC(bđt tam giác)

(dấu = xảy ra khi M thuộc AC)      (1)

ta lại có BM+MD> BD  (bđt tam giác)

(dấu = xảy ra khi M thuộc BD)           (2)

lấy (1)+(2) suy ra: AM+MC+BM+MD> AC+BD

và đạt giá trị nhỏ nhất khi :AM+MC+BM+MD=AC+BD

vậy M nằm ở giao điểm AC và BD

Hoặc 

MA+MB+MC+MD

(MA+MD)+(MB+MC)

(MA+MD) nhỏ nhất khi AMD trên đường thẳng

(MB+MC) nhỏ nhất khi BMC trên đường thẳng

\(\Rightarrow\) GTNN đạt được khi M là giao hai đường chéo AD và BC

Vậy..................................