Ta có :

A=n(n+1)(n+2)(n+3)

=n(n+3).(n+1)(n+2)

=(n2+3n)(n2+3n+2)

=(n2+3n)2+2(n2+3n)⇒A>(n2+3n)2

=[(n2+3n)2+2(n2+3n)+1]−1

=(n2+3n+1)2−1

Có :

(n2+3n+1)2>A>(n2+3n)2 nên A không phải số chính phương ( Vì A nằm giữa hai số chính phương )

=n(n+3).(n+1)(n+2)

=(n2+3n)(n2+3n+2)

=(n2+3n)2+2(n2+3n)⇒A>(n2+3n)2

=[(n2+3n)2+2(n2+3n)+1]−1

=(n2+3n+1)2−1

Có :

A = [n.(n+3)] . [(n+1).(n+2)]

   = (n^2+3n).(n^2+3n+2) > (n^2+3n)^2    (1)

Lại có : A = (n^2+3n).(n^2+3n+2) = (n^2+3n+1)^2-1 < (n^2+3n+1)^2    (2)

Từ (1) và (2) => (n^2+3n)^2 < A < (n^2+3n+1)^2

=> A ko phải là số chính phương

Tk mk nha

Cái này mình làm không chắc chắn đâu nha !

10^n lúc nào chia 9 cũng dư 1(100 : 9 dư 1; 1000 chia 9 dư 1.....)

18 chia hết cho 9 => 18n chia hết cho 9

Vậy A= 10^n+18n-1 chia hết cho 9

                             Mà số chia hết cho 9 là chia hết cho 81 nên A chia hết cho 81

chúng minh A là số chính phương mà chia hết cho 9 ý

\(A=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)=\left[n\left(n+3\right)\right]\left[\left(n+1\right)\left(n+2\right)\right]\)

\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)=\left(n^2+3n\right)^2-2\left(n^2+3n\right)=\left(n^2+3n-1\right)^2-1\)

là số liền trc của 1 số chính phương nên nó ko thể là số chính phương (đpcm)

A = n n + 1 n + 2 n + 3

= n n + 3 n + 1 n + 2

= n 2 + 3n n 2 + 3n + 2

= n 2 + 3n 2 − 2 n 2 + 3n

= n 2 + 3n − 1 2 − 1 là số liền trc của 1 số chính phương nên nó ko thể là số chính phương (đpcm) 

Lời giải:

$n^4+3n^3+4n^2+3n+1=(n+1)^2(n^2+n+1)$

Nếu đây là scp thì $n^2+n+1$ cũng phải là scp

Đặt $n^2+n+1=t^2$ với $t$ tự nhiên 

$\Leftrightarrow 4n^2+4n+4=(2t)^2$

$\Leftrightarrow (2n+1)^2+3=(2t)^2$

$\Leftrightarrow 3=(2t-2n-1)(2t+2n+1)$

$\Rightarrow 2t+2n+1=3; 2t-2n-1=1$

$\Rightarrow n=0$ (trái giả thiết)

Vậy có nghĩa là $n^2+n+1$ không là scp với mọi $n\in\mathbb{N}^*$

$\Rightarrow n^4+3n^3+4n^2+3n+1$ không là scp với mọi $n\in\mathbb{N}^*$

Ta có đpcm.

A = [n(n+3)]. [(n+1).(n+2)] = (n²  + 3n). (n² + 3n+ 2 ) = (n² + 3n)² + 2.(n² + 3n) 

Đặt  a = n² + 3n  ( a > 0) =>A = a²  + 2a 

Giả sử A là số chính phương => a²  + 2a = p² ( p > 0) => (a + 1)² = p² + 1 => (a+1- p).(a+1+p) = 1 

=> a + 1 +p = 1 => a + p = 0 Vô lí vò a;p > 0  

Vậy A không là scp