\(a+b+c=\frac{ab+ac}{2}=\frac{ba+ba}{3}=\frac{ca+cb}{4}\)

Ta thấy chỉ có \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;0\right)\)

\(\Rightarrow0=0=0=0\)    \(\left(TM\right)\)

Vậy ngoài \(\left(0;0;0\right)\)thì không có \(\left(a;b;c\right)\)thỏa mãn

\(\frac{ab+ac}{2}\)=\(\frac{ba+bc}{3}\)=\(\frac{ca+cb}{4}\)=\(\frac{2\left(ab+ac+bc\right)}{9}\)(áp ụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

*\(\frac{ab+ac}{2}\)=\(\frac{2\left(ab+ac+bc\right)}{9}\)=> 4,5(ab+ac)=2(ab+ac+bc) =>4,5ab+4,5ac=2ab+2ac+2bc=>2,5ab+2,5ac=2bc(rút gọn)

=>5(ab+ac)=4bc(1)=>1,25 (ab+ac)=bc

*\(\frac{ab+ac}{2}\)=\(\frac{ba+bc}{3}\)=\(\frac{ba+1,25ab+1,25ac}{3}\)=\(\frac{2,25ab+1,25ac}{3}\)

=>3(ab+ac)=2(2,25ba+1,25ac)=>3ab+3ac=4,5ba+2,5bc

 =>0,5ac=1,5ba=>ac=3ab(2)

thay (2) vào (1) ta có   5(ab+3ab)=4bc=>5.4ab=4bc=> 5a=c (rút gọn) =>a/1=c/5(3)

Mà ac=3ab=>c=3b=>c/3=b/1  (4)

từ (3) và (4) suy ra: a/1=c/5  ;b/1=c/3=>\(\frac{a}{3}\) =\(\frac{b}{5}\) =   \(\frac{c}{15}\)   (đpcm)

sau có bài nào tương tự thì cứ hỏi mình nhá                                              

bạn Nghĩa Huỳnh Làm đúng rồi đó!!!

Đúng nhưng quá dài mik có cách khác ngắn hơn 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{ab+ac}{2}=\frac{bc+ba}{3}=\frac{ca+cb}{4}=\frac{ab+ac+bc+ab-\left(ac+bc\right)}{2+3-4}=\frac{ab+ac+bc+ab-ac-bc}{1}\)

\(=\frac{2ab}{1}\)  (1)

\(\frac{ab+ac}{2}=\frac{bc+ba}{3}=\frac{ca+cb}{4}=\frac{ab+ac+ca+cb-\left(bc+ba\right)}{2+4-3}=\frac{ab+ac+ca+cb-bc-ab}{3}\)

\(=\frac{2ac}{3}\)  (2)

\(\frac{ab+ac}{2}=\frac{bc+ba}{3}=\frac{ca+cb}{4}=\frac{bc+ba+ca+cb-\left(ab+ac\right)}{3+4-2}=\frac{bc+ba+ca+cb-ab-ac}{5}\)

\(=\frac{2bc}{5}\)  (3)

Từ (1) ; (2)  \(\Rightarrow\frac{2ab}{1}=\frac{2ac}{3}\)\(\Rightarrow\frac{b}{1}=\frac{c}{3}\)\(\Rightarrow\frac{b}{5}=\frac{c}{15}\)

Từ (2) ; (3) \(\Rightarrow\frac{2ac}{3}=\frac{2bc}{5}\)\(\Rightarrow\frac{a}{3}=\frac{b}{5}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{c}{15}\) (đpcm)