cho a b c thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2=2009\end{cases}}\)
Tính A=\(a^4+b^4+c^4\)
Cho ba số a, b, c thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}a+b+c=0\\\\a^2+b^2+c^2=2009\end{cases}}\) tính \(A=a^4+b^4+c^4\)
\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=0\Rightarrow ab+bc+ac=-\frac{2009}{2}\)
\(\left(ab+bc+ac\right)^2=a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+2abc\left(a+c+b\right)=a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\)\(\Rightarrow a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2=\frac{2009^2}{4}\)
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)\)
\(\Rightarrow2009^2=a^4+b^4+c^4+\frac{2009^2}{4}\cdot2\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=\frac{2009^2}{2}\)
Ta có \(a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)=-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=\left(ab+bc+ca\right)^2-2abc\left(a+b+c\right)=\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\right)^2=\frac{2009^2}{4}\)
\(A=a^4+b^4+c^4=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=\frac{2009^2}{2}\)
Cho a,b,c thỏa mãn
\(\orbr{\hept{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2=2009\end{cases}}}\)
Tính a4 + b4 + c4
\(\text{Chắc bn ghi thiếu đề :}\)
\(\hept{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2=1\end{cases}}\)
\(Tính\)\(a^4+b^4+c^4\)
\(Giải:\)\(\text{Đặt}\)\(M=a^4+b^4+c^4\)
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\)
\(1=M=\left(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\right)\)
\(M=1-\left(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\right)=1-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)
\(0=1+2ab+2ac+2bc\)
\(2\left(ab+ac+bc\right)=-1\Rightarrow ab+ac+bc=-\frac{1}{2}\)
\(\left(ab+ac+bc\right)^2=a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+2\left(a^2bc+ab^2c+abc^2\right)\)
\(\frac{1}{4}=^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+2abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow^2b^2+a^2c^2+b^2c^2=\frac{1}{4}.0\left(vì\right)a+b+c=0\)
\(M=1-2.\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)
\(a+b+c=0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0.\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca=-\frac{2009}{2}.\)
\(\Rightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2=\frac{2009^2}{4}.\)
\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)=\frac{2009^2}{4}.\)
\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=\frac{2009^2}{4}.\)
Ta có \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=2009^2\)
\(a^4+b^4+c^4=2009^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(=2009^2-2.\frac{2009^2}{4}=\frac{2009^2}{2}.\)
cho a,b,c thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2=2009\end{cases}}\)tinh A= \(a^4\)+\(b^4\)+\(c^4\)
Chuyên Quảng Ngãi 2018
Cho a,b,c là các số thực khác 0 thỏa mãn điều kiện \(\hept{\begin{cases}a^2+a=b^2\\b^2+b=c^2\\c^2+c=a^2\end{cases}}\)
Chứng minh rằng \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=1\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}a^2+a=b^2\\b^2+b=c^2\\c^2+c=a^2\end{cases}}\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\left(a+b+c\right)=a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=0\left(1\right)\)
Lại có:\(\hept{\begin{cases}a^2+a=b^2\\b^2+b=c^2\\c^2+c=a^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2-b^2=-a\\b^2-c^2=-b\\c^2-a^2=-c\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right).\left(a+b\right)=-a\\\left(b-c\right).\left(b+c\right)=-b\\\left(c-a\right).\left(c+a\right)=-c\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)=-\frac{a}{a+b}\\\left(b-c\right)=-\frac{b}{b+c}\\\left(c-a\right)=-\frac{c}{a+c}\end{cases}}\)
Từ (1) \(\Rightarrow\left(a-b\right).\left(b-c\right).\left(c-a\right)=-\left(\frac{a}{a+b}\cdot\frac{b}{b+c}\cdot\frac{c}{a+c}\right)=\frac{-abc}{-c.\left(-a\right).\left(-b\right)}=1\)
Cho a , b , c thỏa \(\hept{\begin{cases}a+b+c=4\\ab+bc+ca=5\end{cases}}\) , Chứng minh \(\frac{2}{3}\le a,b,c\le2\) .
moi nguoi oi giup em may cau nay voi
1) Cho \(\hept{\begin{cases}a,b,c,d\ge0\\a+b+c+d\le3\end{cases}}\)tim max \(P=2a+3b^2+4b^3+5b^4\)
2) Cho \(\hept{\begin{cases}a,b,c\ge0\\a+b+c=3\end{cases}}\)tim min \(P=\left(a-1\right)^3+\left(b-1\right)^3+\left(c-1\right)^3\)
3) Cho \(\hept{\begin{cases}a,b\ge0;0\le c\le1\\a^2+b^2+c^2=3\end{cases}}\) tim max,min \(P=ab+bc+ca+3\left(a+b+c\right)\)
4) Cho \(\hept{\begin{cases}a,b,c\ge0\\a+b+c=3\end{cases}}\)tim max \(P=a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}-\sqrt{abc}\)
5) Cho \(\hept{\begin{cases}a,b\ge0;0\le c\le1\\a+b+c=3\end{cases}}\)tim max, min \(P=a^2+b^2+c^2+abc\)
em cam on nhieu
Cho a,b là 2 số thay đổi thỏa mãn :\(\hept{\begin{cases}a>0\\a+b\ge1\end{cases}}\)
Tìm GTNN của bt A=\(\frac{8a^2+b}{4a}+b^2\)
\(A=\frac{8a^2+b}{4a}+b^2=2a+\frac{b}{4a}+b^2=\left(b^2+\frac{b}{4a}+\frac{a}{2}\right)+\frac{3}{2}a\)
\(\ge3\sqrt[3]{b^2.\frac{b}{4a}.\frac{a}{2}}+\frac{3}{2}a=\frac{3}{2}a+\frac{3}{2}b=\frac{3}{2}\left(a+b\right)\ge\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Giải chi tiết hộ mk
Cho \(\hept{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2=4\end{cases}}\)
Tính giá trị biểu thức \(A=a^4+b^4+c^4\)
(1)^2=> a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=0
=> ab+bc+ac=-2
(...)^2=4
(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2=4
(2)^2=>A+2(ab)^2+2(bc)^2+2(ac)^2=16
A=16-4=12
nhầm giờ mới có máy tính
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=A+2\left(\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ac\right)^2\right)=16\)
\(A=16-2.4=8\)
1. cho \(-1\le a,b,c\le2\) và a+b+c=0. CMR \(a^2+b^2+c^2\le6\)
2. cho \(\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c=1\end{cases}}\)cmr hoán vị của \(a\sqrt[3]{1+b-c}\ge\frac{3\sqrt{17}}{2}\)
3. \(\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c=1\end{cases}}\)cmr: hoán vị của\(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{9}{10}\)
4. \(\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c\le\frac{3}{2}\end{cases}}\)cmr: hoán vị của \(a\sqrt[3]{1+b-c}\le1\)
1.
\(-1\le a\le2\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+1\ge0\\a-2\le0\end{cases}\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a-2\right)\le0\Leftrightarrow a^2\le}2+a\)
Tương tự \(b^2\le2+b,c^2\le2+c\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le6+a+b+c=6\)
Dấu "=" xảy ra khi a=2,b=c=-1 và các hoán vị của chúng
Xét \(\frac{a^2+1}{a}=a+\frac{1}{a}\)
Dễ thấy dấu "=" xảy ra khi \(a=\frac{1}{3}\)
khi đó \(a+\frac{1}{a}=a+\frac{1}{9a}+\frac{8}{9a}\ge2\sqrt{\frac{a.1}{9a}}+\frac{8}{\frac{9.1}{3}}=\frac{10}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a^2+1}\le\frac{3}{10}\)
tương tự =>đpcm
lười quá khỏi nghĩ đưa link
| Inequalities (ko dịch dc thì pm)