Cho góc xOy lấy điểm M trên Ox,lấy N sao cho : OM+ON=m(không đổi)
CMR: Đường trung trực của đoạn MN đi qua 1 điểm cố định
Cho tam giác cân ABC, AB=AC. Trên cạnh BC lấy D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD=CE.Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt tại M và N.
Chứng minh rằng :
a) DM=EN
b) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN;
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC.
a) Xét \(\Delta MDB=\Delta NEC\left(c-g-c\right)\)
=> DM=NE
b) Ta có
\(\Delta MDI\perp D\)=> DMI+MID=90 độ
\(\Delta NEI\perp E\)=> góc ENI+NIE=90 độ
mà MID=NEI đối đỉnh
=> DMI=ENI
\(=>\Delta MDI=\Delta NEI\left(c-g-c\right)\)
=> IM=ỊN
=> BC cắt MN tại I là trung Điểm của MN
c) Gọi H là chân đường zuông góc kẻ từ A xuống BC
=> tam giác AHB = tam giác AHC( ch, cạnh góc zuông )
=> góc HAB= góc HAC
Gọi O là giao điểm của AH zới đường thẳng zuông góc zới MN kẻ từ I
=> tam giác OAB= tam giác OAC (c-g-c)(1)
=> góc OBA = góc OCA ; OC=OB
tam giác OBM= tam giác OCN (c-g-c)
=> góc OBM=góc OCN (2)
từ 1 zà 2 suy ra OCA=OCN =90 độ do OC zuông góc zới AC
=> O luôn cố đinhkj
=> DPCM
Cho góc xoy, lấy điểm A thuộc tia ox, lấy điểm B thuộc tia oy. Chứng tỏ rằng: các đường trung trực của đoạn thẳng OA, OB cắt nhau tại một điểm M
Cho góc xoy . Trên cạnh Ox lấy 2 điểm A và C . Trên cạnh Oy lấy hai điểm B và D sao cho OA = OB , OC=OD . Gọi M và N theo thứ tự là trung diểm của AB và CD .
a) Chứng mình đường thẳng OM là trung trực của AB
Cho góc xOy ; vẽ tia phân giác Ot của góc xOy. Trên tia Ot lấy điểm M bất kì ; trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B sao cho OA=OB gọi H là giao điểm của AB và Ot. Chứng minh:
a) MA=MB
b) OM là đường trung trực của AB
c) Cho biết AM=6cm ; OA=5cm. Tính OH
Cậu tự vẽ hinh nha !
Xét tam giác OAM và tam giác OBM có :
OA = OB (giả thiết)
góc AOM = góc BOM (phân giác) => tam giác OAM = tam giác OBM (c.g.c)
OM là cạnh chung
=> MA = MB (2 cạnh tương ứng)
b) Xét tam giác OAH là tam giác OBH có :
OA = OB (gt)
OH là cạnh chung => tam giác OAH = tam giác OBH (c.g.c)
góc AOM = góc OBM (phân giác ) => OA = OB (2 cạnh tương ứng) (1)
và góc AHO = góc BHO
Vì 2 góc này kề bù và bằng nhau
=> góc AHO = góc BHO = góc AHB / 2 = 180 / 2 = 90 (2)
Từ 1 và 2
=> OM là đường trung trực của AB
c) quá dễ
cho đường tròn (O;R) đường kính AB cố định. C là 1 điểm cố định nằm giữa A và O. Điểm M di động trên đường tròn (O;R).
1)gọi N là 1 điểm trên đường tròn (O;R) sao cho góc MCN =90 độ , gọi K là trung điểm của MN. CMR khi M di động ta có KO2+KC2 không đổi
2)CMR, khi M di động trên (O;R) thì K di động trên 1 đường tròn cố định tâm I là trung điểm của CO
1) nối OM;ON .vì K là trung điểm của MN=>KN=KM=KC=1/2MN( TAM GIÁC VUÔNG ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN ỨNG VỚI CẠNH HUYỀN = NỬA CẠNH HUYỀN)
VÌ OM=ON( CÙNG =R) ==> tam giác OMN cân tại O . XÉT tam giác OMN cân tại O CÓ OK là đường trung tuyến nên nó đồng thời là đường cao ) ==> OK vuông góc với MN ==> TAM giác OKN vuông tại K
XÉT TAM GIÁC OKN vuông tại K .THEO PY-TA GO TA CÓ \(OK^2+KN^2=ON^2\)
MÀ KN=KC (chứng minh trên) ==>\(OK^2+KC^2=ON^2\)
MÀ ON ko đổi ( vì bằng bán kính đường tròn tâm O) ==> \(OK^2+KC^2\) ko đổi
Áp dụng công thức tính đường trung tuyến: KI=\(\sqrt{\frac{2\left(KC^2+KO^2\right)-CO^2}{4}}\)
THEO CÂU a: KC^2+KO^2=ON^2
=>KI=\(\sqrt{\frac{2\cdot ON^2-CO^2}{4}}=\sqrt{\frac{ON^2+\left(ON^2-CO^2\right)}{4}}=\sqrt{\frac{ON^2+CN^2}{4}}\)=\(\frac{\sqrt{R^2+OA^2-CO^2}}{2}=\sqrt{\frac{R^2+AC^2}{4}}\)
Vì C cố định nên khoảng cách KI là cố định
vậy khi M di động trên (O;R) thì K di động trên 1 đường tròn cố định tâm I là trung điểm của CO
Cho tam giác cân ABC ( AB=AC). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy E sao cho BD=CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB,AC lần lượt tại M,N. Chứng minh rằng :
1) DM=EM
2) Đường thẳng vuông góc với BC cắt MN tại trung điểm I của MN.
3) Đường thẳn vuông góc với MN tại I luôn đi qua 1 điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC.
Dạ xin được dành phần c bài này cho bạn Văn Hoàng ở Đăng Đạo ạ
Cho tam giác ABC cân tại A.Trên cạnh BC lấy điểm D khác C,sao cho CD<\(\frac{1}{2}\)CB,trên tia đối của tia BC lấy điểm E sao cho BE=CD.Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt các đường thẳng sao AC và AB lần lượt ở K và F. Chứng minh rằng:
a. DK=EF
b. Đường thẳng BC cắt FK tại điểm I là trung điểm của đoạn thẳng FK.
c. Đường thẳng vuông góc với FK tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC.
a. tam giác ABC cân tại A --> góc ABC= góc ACB
mà góc ABC = góc EBF (đối đỉnh)
---> góc ACB = góc EBF
Xét tam giác EBF và tam giác DCK
góc FEB= góc KDC= 90o
EB=DC (gt)
góc EBF =góc DCK
---->tam giác EBF = tam giác DCK(g.c.g)
b. có EF//DK ( do cùng vuông góc BC)
----> góc EFK = góc DKF ( so le trong)
Xét tam giác IEF và tam giác IDK
góc IEF= góc IDK=90o
EF=DK ( câu a)
góc EFI = góc DKI
---> tam giác IEF = tam giác IDK( g.c.g)
----> IF=IK
Cho hình vuông ABCD cạnh ạ . Trên cạnh BC lấy điểm M , cạnh CD lấy điểm N sao cho góc MAN = 45 độ . Gọi giao điểm của BD với AM,AN lần lượt tại P, Q . c/m :
a. các tứ gaisc ABMQ , ADNP nội tiếp
b. Gọi H là giao điểm của MQ và NP . c/m : AH vuông góc MN
c. Khi M,N thay đổi thì đường thẳng MN luôn tiếp xúc với 1 đường tròn cố định
d. Tìm vị trí của điểm M trên BC để diện tích tứ gíac MNPQ nhỏ nhất
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB.Một điểm C cố định thuộc đoạn thẳng AO (C khác A,O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn tại D . Trên cung BD lấy điểm M(M khác B và D).Tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho tại M cắt đường thẳng CD tại E. Gọi F là giao điểm của AM và CD.
1) chứng minh EM=EF
2)Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM. Chứng minh ba điểm D, I, B thẳng hàng, từ đó suy ra góc ABI có số đo góc không đổi khi M di chuyển trên cung BD.
câu 1 sử dụng tính chất góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là xong nhé
kẻ IK vuông góc với DG và DG cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DFM tại P ==> P là điểm chính giữa cung DF
vì IG vuông góc với DC==> IG // BC
do đó giờ cần chứng minh góc DIG=DBC ( 2 góc đồng vị là ra D;I;B thẳng hàng)
ta có góc DIG=cung DP
góc DMF=1/2cung DF
MÀ cung DP=1/2cung DF( VÌ P là ĐIỂM CHÍNH GIỮA CUNG DF)
==> DIG=DMF
mà góc DMF=DMC( 2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)
==> góc DIP=DBC
mà DBC+GIB=180 độ==> DIG+GIB=180 độ
==> D;I;B thẳng hàng