Ta có : b = 100...05 ( n-1 chữ số 0 ) = 999...9 ( n chữ số 9 ) + 6 = 9.111...1 ( n chữ số 1 ) + 6 = 9.a + 6

=>       a.b + 1 = a.( 9.a + 6 )

                       = 9.a² + 6.a + 1

                       = 9.a² + 3.a + 3.a + 1  

                       = 3.a.( 3.a + 1 ) + ( 3.a + 1 )  

                       = ( 3.a + 1 ) . ( 3.a + 1 )

                       = ( 3.a + 1 )² ( đpcm )

Vậy bài toán được chứng minh !

          C.ơn nx bn đã tk cho mk ♥                      

Theo đề bài ra ta có :

b = 100...05 ( n -1 chữ số 0 ) = 999...9 ( n chữ số 9) + 6 = 9 . 111...1 ( n chữ số 1 ) + 6 = 9 . a + 6

\(\Rightarrow\) a . b + 1 = a . ( 9 . a + 6 ) 

                        = 9 . a² + 6 . a + 1 

                        = 9 . a² + 3 . a + 3 . a + 1

                        = 3. a . ( 3 . a + 1 ) + ( 3 . a + 1 )

                        = ( 3 .  a + 1 ) . ( 3 . a + 1 )

                        = ( 3 . a + 1 )²

\(\Rightarrow\left(Đpcm\right)\)

Bài 2 Chứng minh :  A.B + 1 là số chính phương với

a/      A =11...1 và B =100...05  (có n chữ số 1  và  n-1 chữ số 0)

        Lời giải:   

Thấy A = 1111 … 11 và B = 100…005

Nên:  A + (8A + 6) = 1111…11+ 888…94 = 100…05 = B. Tức là 9A + 6 = B

Do đó: A.B + 1 = A.(9A + 6) + 1 = 9A² + 6.A + 1 = (3A + 1)² 

b/     A = 11...12  và  B =11...14   (có n chữ số 1)

         Lời giải: Thấy B = A + 2 Nên AB + 1 = A.(A + 2) +1 = (A+1)² 

Bài 3  Cho A là số gồm 2n chữ số 1, B là số gồm n+1 chữ số 1, C là số gồm n chữ số 6.              

         Chứng minh rằng:  (A + B + C + 8) là số chính phương

 Lời giải:  - Với n =1  Thì A = 11,  B = 11,  C = 6  Nên A + B + C + 8 = 36 = 6² 

- Với  n = 2 Thì A = 1111,  B = 111,  C = 66 Nên A + B + C + 8 = 1296 = 36²  

- Với n = 3 Thì A = 111111,   B = 1111,  C = 666 Nên A + B + C + 8 = 112896 = 336² 

-  Trường hợp tổng quát,  n>3 

Đặt S = A + B + C + 8 = 111…12888…88 + 8 = 111… 12888…896.  

 Cộng dọc, viết ngay ngắn các bạn dễ thấy:   

 S Là số tự nhiên có 2n chữ số, gồm n-1 chữ số 1, một chữ số 2, có  n-2 chữ số 8, một chữ số 9 và một chữ số 6

 (Với n là số tự nhiên, n>2)  

Ta có S = 111…12888…896  = 111…12888…87 + 9 =   333…33x333…39 + 9 =  

                                                    =  333…33x(333…33 + 6) + 9 =

                                                    = 333…332 + 6x333…33 + 9 = (333…33 + 3)² = 333…36²  

                                                  (Số 333…36 có n chữ số, gồm n-1 chữ số 3 và một chữ số 6 ) 

Bài 4  Chứng minh số \(\frac{1}{3}.\left(111...11-333...3300...00\right)\) là lập phương của 1 số tự nhiên

( n chữ số 1, n chữ số 3, n chữ số 0)

Lời giải : Số đã cho là một số âm nên nó không thể bằng lập phương của một số tự nhiên. (Bạn xem lại đề ra đi nhé)

Bài 5:  Cho 1 dãy số có số hạng đầu là 16, các số hạng sau là số tạo thành bằng cách chèn số 15 vào giữa số hạng liền trước: 

Vd: 16 => 1156 => 111556 => 11115556 =>...

Chứng minh mọi số hạng của dãy đều là số chính phương. 

Bài 2 Chứng minh :  A.B + 1 là số chính phương với

a/      A =11...1 và B =100...05  (có n chữ số 1  và  n-1 chữ số 0)

        Lời giải:   

Thấy A = 1111 … 11 và B = 100…005

Nên:  A + (8A + 6) = 1111…11+ 888…94 = 100…05 = B. Tức là 9A + 6 = B

Do đó: A.B + 1 = A.(9A + 6) + 1 = 9A² + 6.A + 1 = (3A + 1)² 

b/     A = 11...12  và  B =11...14   (có n chữ số 1)

         Lời giải: Thấy B = A + 2 Nên AB + 1 = A.(A + 2) +1 = (A+1)²

Bài 3  Cho A là số gồm 2n chữ số 1, B là số gồm n+1 chữ số 1, C là số gồm n chữ số 6.              

         Chứng minh rằng:  (A + B + C + 8) là số chính phương

 Lời giải:  - Với n =1  Thì A = 11,  B = 11,  C = 6  Nên A + B + C + 8 = 36 = 6² 

- Với  n = 2 Thì A = 1111,  B = 111,  C = 66 Nên A + B + C + 8 = 1296 = 36²  

- Với n = 3 Thì A = 111111,   B = 1111,  C = 666 Nên A + B + C + 8 = 112896 = 336² 

-  Trường hợp tổng quát,  n>3  

Đặt S = A + B + C + 8 = 111…12888…88 + 8 = 111… 12888…896.  

 Cộng dọc, viết ngay ngắn các bạn dễ thấy:   

 S Là số tự nhiên có 2n chữ số, gồm n-1 chữ số 1, một chữ số 2, n-2 chữ số 8, một chữ số 9 và một chữ số 6

 (Với n là số tự nhiên, n>2)  

Ta có S = 111…12888…896  = 111…12888…87 + 9 =   333…33x333…39 + 9 =  

                                                    =  333…33x(333…33 + 6) + 9 =

                                                    = 333…33² + 6x333…33 + 9 = (333…33 + 3)² = 333…36²  

                                                  (Số 333…36 có n chữ số, gồm n-1 chữ số 3 và một chữ số 6 )

Bài 4  Chứng minh số .(11...1-33...300...0) là lập phương của 1 số tự nhiên

( n chữ số 1, n chữ số 3, n chữ số 0)

Bài 5:  Cho 1 dãy số có số hạng đầu là 16, các số hạng sau là số tạo thành bằng cách chèn số 15 vào giữa số hạng liền trước: Vd: 16 => 1156 => 111556 => 11115556 =>...

Chứng minh mọi số hạng của dãy đều là số chính phương

   Lời giải:  Ta có hai số hạng đầu của dãy số đó là :

                               16 = 15 + 1 = 3 . 5 + 1 = 3.(3 + 2) + 1 = 3² + 2.3 + 1 = (3 + 1)²

                            1156 = 1155 + 1 = 33x35 + 1 = 33x(33 + 2) + 1 = 33² + 2.33 + 1 = (33 + 1)²

Số hạng tổng quát (Có n chữ số 1, có  n-1 chữ số 5 và 1 chữ số 6) 111…55…56 Ta biến đổi :

111…1155…56  = 111…1155…55 + 1 =

                            = 333…33x333…35 + 1 = 333…33x(333..33 + 2) + 1 =

                            = 333…33² + 2x333…33 + 1 = (333…33 + 1)² = 333…34²

                                                      (333…34  Có n-1 chữ số 3 và một chữ số 4)

Chú ý rằng: Tích (Mỗi thừa số có n chữ số. Thừa số thứ nhất có n – 1 chữ số 3 và một chữ số 5 ở hàng đơn vị, thừa số thứ hai có n chữ số 3):  333…35x 333…3 viết dạng nhân dọc :

                           333…335                               (Có n-1 chữ số 3 và một chữ số 5)        

                     x    333... 333

                ________________

                         100...005                          Có n+1 chữ số, gồm một chữ số 1, một chữ số 5 và n-1 chữ số 0)

                     100… 005     ( Có n+1 chữ số, gồm một chữ số 1, một chữ số 5 và n-1 chữ số 0)

                        ……………

          100…005                   (Có n+1 chữ số, gồm một chữ số 1, một chữ số 5 và n-1 chữ số 0)

_______________________

          11…1155…555         (Có n chữ số 1 và n chữ số 5)

Chúc bạn Nguyễn Như Quỳ học tập ngày càng giỏi . Bạn tìm đâu ra những bài toán hay đến vậy ?

các em tự tin thể hiện những kiến thức mình đã tìm hiểu, biết nhận xét cái đúng, cái sai và nắm được kiến thức trọng tâm của bài học.

i do not know

i do not know

Để \(\sqrt{AB+1}\in N\) thì AB+1 phải là số chính phương

Đặt 2008 = n 

Ta có A = 11..1= \(\frac{10^n-1}{9}\)

         B = 100..05 =10..00(2008 chữ số 0) +5 = 10ⁿ+5

\(\Rightarrow AB+1=\frac{10^n-1}{9}.\left(10^n+5\right)+1\)

                      \(=\frac{\left(10^n-1\right)\left(10^n+5\right)+9}{9}=\frac{10^{2n}+5.10^n-10^n-5+9}{9}\)

                        \(=\frac{10^{2n}+4.10^n+4}{9}=\frac{\left(10^n+2\right)^2}{9}=\left(\frac{10^n+2}{3}\right)^2\)  

      Mà 10ⁿ+2 có tổng các chữ số bằng 3 nên chia hết cho 3 

  Suy ra AB+1 là số chính phương 

\(\Rightarrow\sqrt{AB+1}\)LÀ SỐ TỰ NHIÊN

ai k mình k lại [ chỉ 3 người đầu tiên mà trên 10 điểm hỏi đáp ]