a #  b # c # a,thoan man a/(b-c)+b/(c-a)+c/(a-b)=0

<=> a(c-a)(a-b)+b(a-b)(b-c)+c(b-c)(c-a)=0

<=>-a(a-n)(a-c)-b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)(c-b)=0

<=>a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)=0               (*)

Tu (*)ta thay a,b,c doi xung nen ko giam tinh tong quat gia su :a>b>c

Nếu a,b,c đều ko âm ,giả thiết trên thành a>b>c>hoặc=0

(*)<=>(a-b)(a^2 - ac - b^2 +bc)+c(c-a)(c-b)=0

<=>(a-b)[(a+b)(a-b)- c(a-b)]+c(c -a)(c-b)=0

<=>(a-b)^2.(a+b-c)+c(a-c)(b-c)=0        (**)

Thấy b- c > 0 (do b > c)và a > 0 =>a+b-c > 0 =>(a-b)^2 . (a+b-c)>0 va c(a-c)(b-c)>hoac = 0

=>(a-b)^2.(a+b-c)+c(a-c)(b-c)>0 mâu thuẫn với (**)

Vay c < 0 (noi chung la trong a,b,c phai co so am )

Nếu cả a,b,c đều không có số dương do giả thiết trên ta có :0 > hoac = a > hoac = b>hoac = c

(*)<=>a(a-b)(a-c)+(b-c)(b^2-ab-c^2 + ca)=0

<=>a(a-b)(a-c)+(b-c)[(b+c)(b-c)-a(b-c)]=0

<=>a(a-b)(a-c)+(b-c)^2.(b+c-a)=0             (***)

a-b > 0 ;a- c > 0 => a(a-b)(a-c)< hoac = 0 (vi a < hoac = 0)

Và b<0 ; c -a < 0 => b+ c -a < 0=>(b-c)^2.(b+c-a)<0

=> a(a-b)(a-c)+(b-c)^2.(b+c-a)<0  mâu thuẫn với  (***)

Chứng tỏ trong a,b,c phải có số dương 

Tóm lại trong 3 số a,b,c phải có  số dương và âm .

Chờ ngày này 3 năm sau tớ giải cho

Làm vô đây đài nhưng làm trog giấy ngắn lắm

1) a # b # c # a, thỏa a/(b-c) + b/(c-a) + c/(a-b) = 0 
<=> a(c-a)(a-b) + b(a-b)(b-c) + c(b-c)(c-a) = 0 
<=> -a(a-b)(a-c) - b(b-a)(b-c) - c(c-a)(c-b) = 0 
<=> a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) + c(c-a)(c-b) = 0 (*) 
từ (*) ta thấy a, b, c đối xứng nên không giãm tính tổng quát giả sử: a > b > c 

* Nếu a, b, c đều không âm, giả thiết trên thành a > b > c ≥ 0 
(*) <=> (a-b)(a² - ac - b² + bc) + c(c-a)(c-b) = 0 
<=> (a-b)[(a+b)(a-b) -c(a-b)] + c(c-a)(c-b) = 0 
<=> (a-b)².(a+b-c) + c(a-c)(b-c) = 0 (1*) 

thấy b - c > 0 (do b > c) và a > 0 => a+b-c > 0 => (a-b)².(a+b-c) > 0 và c(a-c)(b-c) ≥ 0 
=> (a-b)².(a+b-c) + c(a-c)(b-c) > 0 mâu thuẩn với (1*) 

Vậy c < 0 (nói chung là trong a, b, c phải có số âm) 

* Nếu cả a, b, c đều không có số dương do giả thiết trên ta có: 0 ≥ a > b > c 

(*) <=> a(a-b)(a-c) + (b-c)(b² - ab - c² + ca) = 0 
<=> a(a-b)(a-c) + (b-c)[(b+c)(b-c) - a(b-c)] = 0 
<=> a(a-b)(a-c) + (b-c)².(b+c-a) = 0 (2*) 

a - b > 0; a - c > 0 => a(a-b)(a-c) ≤ 0 (vì a ≤ 0) 
và b < 0; c - a < 0 => b + c -a < 0 => (b-c)².(b+c-a) < 0 
=> a(a-b)(a-c) + (b-c)².(b+c-a) < 0 mẫu thuẩn với (2*) 

chứng tỏ trong a, b, c phải có số dương 

Tóm lại trong 3 số a, b, c phải có số dương và số âm 

1) a # b # c # a, thỏa a/(b-c) + b/(c-a) + c/(a-b) = 0 
<=> a(c-a)(a-b) + b(a-b)(b-c) + c(b-c)(c-a) = 0 
<=> -a(a-b)(a-c) - b(b-a)(b-c) - c(c-a)(c-b) = 0 
<=> a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) + c(c-a)(c-b) = 0 (*) 
từ (*) ta thấy a, b, c đối xứng nên không giãm tính tổng quát giả sử: a > b > c 

* Nếu a, b, c đều không âm, giả thiết trên thành a > b > c ≥ 0 
(*) <=> (a-b)(a² - ac - b² + bc) + c(c-a)(c-b) = 0 
<=> (a-b)[(a+b)(a-b) -c(a-b)] + c(c-a)(c-b) = 0 
<=> (a-b)².(a+b-c) + c(a-c)(b-c) = 0 (1*) 

thấy b - c > 0 (do b > c) và a > 0 => a+b-c > 0 => (a-b)².(a+b-c) > 0 và c(a-c)(b-c) ≥ 0 
=> (a-b)².(a+b-c) + c(a-c)(b-c) > 0 mâu thuẩn với (1*) 

Vậy c < 0 (nói chung là trong a, b, c phải có số âm) 

* Nếu cả a, b, c đều không có số dương do giả thiết trên ta có: 0 ≥ a > b > c 

(*) <=> a(a-b)(a-c) + (b-c)(b² - ab - c² + ca) = 0 
<=> a(a-b)(a-c) + (b-c)[(b+c)(b-c) - a(b-c)] = 0 
<=> a(a-b)(a-c) + (b-c)².(b+c-a) = 0 (2*) 

a - b > 0; a - c > 0 => a(a-b)(a-c) ≤ 0 (vì a ≤ 0) 
và b < 0; c - a < 0 => b + c -a < 0 => (b-c)².(b+c-a) < 0 
=> a(a-b)(a-c) + (b-c)².(b+c-a) < 0 mẫu thuẩn với (2*) 

chứng tỏ trong a, b, c phải có số dương 

Tóm lại trong 3 số a, b, c phải có số dương và số âm

Tk mk nha

a #  b # c # a,thoan man a/(b-c)+b/(c-a)+c/(a-b)=0

<=> a(c-a)(a-b)+b(a-b)(b-c)+c(b-c)(c-a)=0

<=>-a(a-n)(a-c)-b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)(c-b)=0

<=>a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)=0               (*)

Tu (*)ta thay a,b,c doi xung nen ko giam tinh tong quat gia su :a>b>c

Nếu a,b,c đều ko âm ,giả thiết trên thành a>b>c>hoặc=0

(*)<=>(a-b)(a^2 - ac - b^2 +bc)+c(c-a)(c-b)=0

<=>(a-b)[(a+b)(a-b)- c(a-b)]+c(c -a)(c-b)=0

<=>(a-b)^2.(a+b-c)+c(a-c)(b-c)=0        (**)

Thấy b- c > 0 (do b > c)và a > 0 =>a+b-c > 0 =>(a-b)^2 . (a+b-c)>0 va c(a-c)(b-c)>hoac = 0

=>(a-b)^2.(a+b-c)+c(a-c)(b-c)>0 mâu thuẫn với (**)

Vay c < 0 (noi chung la trong a,b,c phai co so am )

Nếu cả a,b,c đều không có số dương do giả thiết trên ta có :0 > hoac = a > hoac = b>hoac = c

(*)<=>a(a-b)(a-c)+(b-c)(b^2-ab-c^2 + ca)=0

<=>a(a-b)(a-c)+(b-c)[(b+c)(b-c)-a(b-c)]=0

<=>a(a-b)(a-c)+(b-c)^2.(b+c-a)=0             (***)

a-b > 0 ;a- c > 0 => a(a-b)(a-c)< hoac = 0 (vi a < hoac = 0)

Và b<0 ; c -a < 0 => b+ c -a < 0=>(b-c)^2.(b+c-a)<0

=> a(a-b)(a-c)+(b-c)^2.(b+c-a)<0  mâu thuẫn với  (***)

Chứng tỏ trong a,b,c phải có số dương 

Tóm lại trong 3 số a,b,c phải có  số dương và âm 

k cho mình nha ! Chúc bạn học tốt

nhật minh lm sai r

Từ : a+1b = b+1c
 a-b=1c-1b
 a-b=b−cbc (1)
Từ : b+1c=c+1a
 b-c = c+1a
 b-c = b−cac(2)
Từ : c+1a=a+1b
 c-a =1b-1a
 c-a=a−bab(3)
Nhân tùng vế của (1)(2)(3) cho nhau ,ta đc:
(a-b)(b-c)(c-a) = (a−b)(b−c)(c−a)a2b2c2
 a^2b^2c^2(a-b)(b-c)(c-a)=(a-b)(b-c)(c-a)
 (a-b)(b-c)(a^2b^2c^2 -a)=0
Vì a,b,c đôi một khác nhau 
 ( a-b)(b-c)(c-a)khác 0
 a^2b^2c^2 -1 =0
 abc= 1 or abc=-1

Giả  sử abc =1 ta có

\(a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}\Leftrightarrow a+ac=b+bc=c+bc\)

=>a(1+c)=b(1+c)=c(1+b)

=>a =b=c vô lí vì a;b;c đôi 1 khác nhau

=> Không có a,b,c nào thỏa mãn ,

Cách I:(((dành cho nhũng ai biết HĐT a³ + b³ + c³ = [(a + b + c)(a² + b²+ c²-ab-bc-ca)+3abc]))) 
Ta có: 
bc/a²+ac/b²+ ab/c²=abc/a³+abc/b³+abc/c³ 
=abc(1/a³ + 1/b³ + 1/c³) 
=abc[(1/a + 1/b + 1/c)(1/a² + 1/b²+ 1/c²-1/ab-1/bc-1/ca)+3/abc](áp dụng HĐt trên) 
=abc.3/(abc)=3 
Cách II: 
Từ giả thiết suy ra: 
(1/a +1/b)³=-1/c³ 
=>1/a³+1/b³+1/c³=-3.1/a.1/b(1/a+1/b)=3...
=>bc/a²+ac/b²+ ab/c²=abc/a³+abc/b³+abc/c³ 
=abc(1/a³ + 1/b³ + 1/c³) 
=abc.3/(abc)=3

Mik ko biết có đúng ko??

\(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c;a+c=-b;b+c=-a\)

\(\frac{a+b}{a-b}\left(\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}\right)=\frac{a+b}{a-b}\cdot\frac{a-b}{a+b}+\frac{a+b}{a-b}\left(\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}\right)\)

\(=1+\frac{a+b}{a-b}\cdot\frac{\left(b-c\right)\left(c+a\right)+\left(c-a\right)\left(b+c\right)}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=1+\frac{a+b}{a-b}\cdot\frac{bc+ab-c^2-ac+bc+c^2-ab-ac}{-a\cdot-b}\)

\(=1+\frac{\left(a+b\right)\left(2bc-2ac\right)}{\left(a-b\right)ab}=1+-\frac{2c\left(a+b\right)\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)ab}=1+\frac{-2c\cdot-c}{ab}=1+\frac{2c^2}{ab}\left(đpcm\right)\)

Ta có: \(a+b+c=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=-c\\b+c=-a\\c+a=-b\end{cases}}\)thay vào biểu thức đã cho:

\(\frac{a+b}{a-b}\left(\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}\right)\)\(=\frac{-c}{a-b}\left(\frac{a-b}{-c}+\frac{b-c}{-a}+\frac{c-a}{-b}\right)\)

\(=1+\frac{-c\left(b-c\right)}{-a\left(a-b\right)}+\frac{-c\left(c-a\right)}{-b\left(a-b\right)}=1+\frac{c\left(b-c\right)}{a\left(a-b\right)}+\frac{c\left(c-a\right)}{b\left(a-b\right)}\)

\(=1+\frac{bc\left(b-c\right)}{ab\left(a-b\right)}+\frac{ac\left(c-a\right)}{ab\left(a-b\right)}=1+\frac{b^2c-bc^2+ac^2-a^2c}{ab\left(a-b\right)}\)

\(=1+\frac{c\left(b^2-a^2\right)-\left(bc^2-ac^2\right)}{ab\left(a-b\right)}=1+\frac{c\left(b-a\right)\left(a+b\right)-c^2\left(b-a\right)}{ab\left(a-b\right)}\)

\(=1+\frac{\left(b-a\right).\left[c\left(a+b\right)-c^2\right]}{ab\left(a-b\right)}=1+\frac{\left(a-b\right).\left[c^2-c\left(a+b\right)\right]}{ab\left(a-b\right)}\)

\(=1+\frac{c^2-\left(-c\right).c}{ab}=1+\frac{c^2-\left(-c^2\right)}{ab}=1+\frac{2c^2}{ab}\)(đpcm).

Đặt \(\left(\frac{a-b}{c},\frac{b-c}{a},\frac{c-a}{b}\right)\rightarrow\left(x,y,z\right)\)

Khi đó:\(\left(\frac{c}{a-b},\frac{a}{b-c},\frac{b}{c-a}\right)\rightarrow\left(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\right)\)

Ta có:

\(P\cdot Q=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}\)

Mặt khác:\(\frac{y+z}{x}=\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\cdot\frac{c}{a-b}=\frac{b^2-bc+ac-a^2}{ab}\cdot\frac{c}{a-b}\)

\(=\frac{c\left(a-b\right)\left(c-a-b\right)}{ab\left(a-b\right)}=\frac{c\left(c-a-b\right)}{ab}=\frac{2c^2}{ab}\left(1\right)\)

Tương tự:\(\frac{x+z}{y}=\frac{2a^2}{bc}\left(2\right)\)

\(=\frac{x+y}{z}=\frac{2b^2}{ac}\left(3\right)\)

Từ ( 1 );( 2 );( 3 ) ta có:
\(P\cdot Q=3+\frac{2c^2}{ab}+\frac{2a^2}{bc}+\frac{2b^2}{ac}=3+\frac{2}{abc}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

Ta có:\(a+b+c=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3=-c^3\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)

Khi đó:\(P\cdot Q=3+\frac{2}{abc}\cdot3abc=9\)

Mách mk nốt 2 bài kia vs

chiju