A=(2009+2009^2)+(2009^3+2009^4)+...+(2009^9+2009^10)

A=[2009.(1+2009)]+[2009^3.(1+2009)]+....+[2009^9.(1+2009)]

A=2009.2010+2009^3.2010+...+2009^9.2010

A=2010(2009+2009^3+2009^5+......+2009^9)  chia het cho 2010

Ta có :

\(A=2009+2009^2+2009^3+2009^4+....+2009^{10}\)

Tổng A có số số hạng là :

( 10 - 1 ) : 1 + 1 = 10 ( số hạng )

Vì \(10⋮2\)nên khi ta nhóm 2 số liên tiếp lại thành một căp thì không thừa số nào cả 

\(\Rightarrow A=\left(2009+2009^2\right)+\left(2009^3+2009^4\right)+....+\left(2009^9+2009^{10}\right)\)

\(\Rightarrow A=2009.\left(1+2009\right)+2009^3.\left(1+2009\right)+....+2009^9.\left(1+2009\right)\)

\(\Rightarrow A=2009.2010+2009^3.2010+....+2009^9.2010\)

\(\Rightarrow A=2010.\left(2009+2009^3+....+2009^9\right)\)

Vì \(2009+2009^3+....+2009^9\inℤ\)nên \(2010.\left(2009+2009^3+....+2009^9\right)\inℤ\)

Vì \(2010⋮2010\)nên \(A⋮2010\)

Vậy \(A=2009+2009^2+2009^3+....+2009^{10}⋮2010\left(ĐPCM\right)\)

10.

Sửa lại đề :Cho \(P=\dfrac{2009}{2010}+\dfrac{2010}{2011}+\dfrac{2012}{2013}+\dfrac{2013}{2009}\).Chứng tỏ rằng P<5.

\(P=\dfrac{2009}{2010}+\dfrac{2010}{2011}+\dfrac{2012}{2013}+\dfrac{2013}{2009}\)

\(P=\dfrac{2011}{2012}\)

\(\Rightarrow P< 5\)

a) a = (2009+2009²)+(2009³+2009⁴)+...+(2009⁹+2010¹⁰)

=2009(2009+1)+2009³(2009+1)+...+2009⁹(2009+1)

a=2010(2009+2009³+...+2009⁹) chia hết cho 2010.

b) Gọi d=ƯCLN(3n+5,2n+3)

=>3n+5,2n+3 ⋮ d

=>2(3n+5) - 3(2n+3) ⋮ d

=>1 ⋮ d => d=1 => 3n+5 và 2n+3 là 2 số nguyên tố cùng nhau.

=>Phân số \(\frac{3n+5}{2n+3}\) luôn luôn tối giản với mọi STN n.

\(\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+\frac{1}{43}+.....+\frac{1}{80}\)

\(=\left(\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+\frac{1}{43}+\frac{1}{44}+.....+\frac{1}{60}\right)+\left(\frac{1}{61}+\frac{1}{62}+......+\frac{1}{80}\right)\)

\(>\left(\frac{1}{60}+\frac{1}{60}+\frac{1}{60}+.....+\frac{1}{60}\right)+\left(\frac{1}{80}+\frac{1}{80}+\frac{1}{80}+.....+\frac{1}{80}\right)\)

\(=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\)

\(=\frac{7}{12}\)

\(B=\frac{2008+2009+2010}{2009+2010+2011}=\frac{2008}{2009+2010+2011}+\frac{2009}{2009+2010+2011}+\frac{2010}{2009+2010+2011}\)

\(< \frac{2008}{2009}+\frac{2009}{2010}+\frac{2010}{2011}=A\)

K = (2009 + 2009² + 2009³ + 2009⁴ + .... + 2009¹⁰) 

K = [(2009 + 2009²) + (2009³ + 2009⁴) + ... + (2009⁹ + 2009¹⁰)]

K = [4038090 + 2009²(2009 + 2009²) + ... + 2009⁸(2009 + 2009²)]

K = [4038090 + 2009².4038090 ... + 2009⁸. 4038090]  ⋮ 2010

(4038090 ⋮ 2010)

=> K ⋮ 2010 (đpcm)

Bạn vào đây nha:

Câu hỏi của Sakuraba Laura

Chúc bạn học giỏi!

Ý mik là vào:

Câu hỏi của Sakuraba Laura

https://olm.vn/hoi-dap/question/1163833.html

A=2009 + 2009²  + 2009³ + ...+2009¹⁰

⇒ A=(2009 + 2009²)  + (2009³ + 2009⁴)+ ...+(2009⁹+2009¹⁰)

⇒ A=2009¹(2009⁰ + 2009¹) + 2009³(2009⁰ + 2009¹) + ... + 2009⁹(2009⁰ + 2009¹)

⇒ A=2009¹.2010 + 2009³.2010 + ... + 2009⁹.2010

⇒ A=2010(2009¹+2009³+...+2009⁹) ⋮ 2010

a, \(\frac{1}{2009}+\frac{2}{2009}+...+\frac{2008}{2009}\\ \frac{\left(1+2008\right)\cdot2008\div2}{2009}=\frac{2017036}{2009}\)