a) Tứ giác AKHI có 4 góc vuông nên nó là hình chữ nhật, có IK và AH là hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Vậy IK đi qua trung điểm của AH.
b) Tam giác vuông có KN là trung tuyến nên KN = 1/2HC = HN. Vậy tam giác NKH cân
Suy ra: góc KHN = góc HKN (1)
Tam giác OHK cân vì OH = OK.
Suy ra: góc OHK = góc OKH (2)
Mà góc OHK + góc KHN = 1 vuông (3)
Từ (1), (2), (3) Suy ra OKH + góc HKN = góc OKN = 1 vuông. Vậy NK vuông góc với KI (4)
Chứng minh tương tự: MI vuông góc với KI (5)
Từ (4) và (5) Suy ra MI // NK
Vậy tứ giác MNKI là hình thang vuông.
Khi MNKI là hình chữ nhật thì góc KNC = 1v Suy ra góc NCK = 45 độ. Vậy tam giác ABC vuông cân thì MNKI là hình chữ nhật.
c) AL // KN ( cặp góc đồng vị LAC và NKC bằng nhau vì cùng bằng góc C)
Mà NK vuông góc với IK ( câu b)
Suy ra AL vuông góc với IK

Gọi O là giao điểm của AM và IK

Vì tam giác ABC vuông tại A và có đường trung tuyến AM nên ta có AM = BM = CM = 1/2BC

=> Tam giác ABM cân tại M =>\(\widehat{MAB}=\widehat{MBA}\) 

Dễ thấy AIHK là hình chữ nhật vì \(\widehat{BAC}=\widehat{AKH}=\widehat{AIH}=90^o\)

=> \(\widehat{KIA}=\widehat{AHK}\) (tính chất hình chữ nhật)

Mà : \(\hept{\begin{cases}\widehat{AHK}+\widehat{AHI}=90^o\\\widehat{BHI}+\widehat{AHI}=90^o\end{cases}}\) => \(\widehat{AHK}=\widehat{BHI}\) hay \(\widehat{KIA}=\widehat{BHI}\)

Ta có : \(\widehat{BHI}+\widehat{ABC}=90^o\) mà \(\widehat{BHI}=\widehat{KIA};\widehat{MAB}=\widehat{ABC}\)

=> \(\widehat{KIA}+\widehat{MAB}=90^o\) mà trong tam giác AOI : \(\widehat{KIA}+\widehat{MAB}+\widehat{AOI}=180^o\)

=> \(\widehat{AOI}=90^o\Rightarrow AM\perp IK\) (đpcm)

Gọi O là giao điểm của AM và IK.

Tứ giác AIHK có 3 góc vuông nên AIHK là hình chữ nhật nên góc HKI = góc AIK.

góc HKI phụ góc IKA mà góc IKA = góc HAK suy ra góc HKI phụ góc HAK.

Do đó góc HKI = góc C (cùng phụ góc HAK). Suy ra góc AIK = góc C. (1)

Dễ dàng chứng minh được góc B = góc MAB nên MAB phụ góc C. (2)

Từ (1) và (2) suy ra góc AIK phụ góc MAB hay góc IOA = 90⁰.

Vậy AM vuông góc với IK.

Ta có : ΔABC vuông tại A(gt)

AM là đường trung tuyến ứng với BC ( M là trung điểm BC )

⇒ AM = BM ( Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong Δ vuông)

⇒ ΔAMB cân tại M

 \(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{B}\left(1\right)\)

\(HI\perp AB\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{HIA}=90^o\)

\(HK\perp AC\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{HKA}=90^o\)

\(\widehat{A}=90^o\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow AIHK\)có \(\widehat{A}=\widehat{HIA}=\widehat{HKA}=90^o\)

=> AIHK là hình CN ( dấu hiệu nhân biết )

Gọi N là giao điểm IK ; AH

=> NI = NA ( TÍnh chất hình chữ nhật) ⇒ ΔANI cân tại N 

 \(\Rightarrow\widehat{I_1}=\widehat{IAN}\left(3\right)\)Lại có \(\widehat{A_2}=\widehat{B}\)( cùng phụ với \(\widehat{C}\)) ( 2 )

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{A}_2\left(4\right)\)Lại có : \(\widehat{IAN}+\widehat{A_2}=\widehat{A}=90^o\left(5\right)\)

Từ 3 ; 4 ; 5 

\(\Rightarrow\widehat{I_1}+\widehat{A_1}=90^o\)mà \(\widehat{I_1}+\widehat{A_1}+\widehat{INA}=180^o\)

\(\Rightarrow90^o+\widehat{INA}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{INA}=90^o\Rightarrow AM\perp IK\left(đpcm\right)\)