Ta có :

3²ⁿ - 9 = 9ⁿ - 9 nên 3²ⁿ - 9  \(⋮\)  9       ( 1 )

3²ⁿ - 9 = ( 3ⁿ )² - 1 - 8 = ( 3ⁿ - 1 ) ( 3ⁿ + 1 ) - 8 nên 3²ⁿ - 9 \(⋮\)8      ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\)3²ⁿ - 9 \(⋮\)72 

3^2n-9=(3^2)^n-9=9^n-9

Ta có:9 đồng dư với 1(mod 8)

\(\Rightarrow\)9^n đồng dư với 1(mod 8)

\(\Rightarrow\)9^n-9 đồng dư với -8(mod 8)

\(\Rightarrow\)9^n-9\(⋮\)8

Vậy 3^2n-9 chia hết cho 72 với mọi số nguyên dương n

3²ⁿ - 9 = (3²) - 9 = 9ⁿ - 9

+) Thấy dấu hiệu chia hết cho 9

+) Ta có: 9 đồng dư với 1 (mod 8)

=> 9ⁿ đồng dư với 1 (mod 8)

=> 9ⁿ - 9 đồng dư với -8 (mod 8)

=> 9ⁿ - 9 đồng dư với 0 (mod 8)

=> 9ⁿ - 9 chia hết cho 8

=> (8; 9) = 1 => 3²ⁿ - 9 chia hết cho 72.

Đặt A = n^6 + n^4 – 2n^2 = n^2 (n^4 + n^2 – 2) 
= n^2 (n^4 – 1 + n^2 – 1) 
= n^2 [(n^2 – 1)(n^2 + 1) + n^2 – 1] 
= n^2 (n^2 – 1)(n^2 + 2) 
= n.n.(n – 1)(n + 1)(n^2 + 2) 
+ Nếu n chẳn ta có n = 2k (k thuộc N) 
A = 4k^2 (2k – 1)(2k + 1)(4k^2 + 2) = 8k^2 (2k – 1)(2k + 1)(2k^2 + 1) 
Suy ra A chia hết cho 8 
+ Nếu n lẻ ta có n = 2k + 1 (k thuộc N) 
A = (2k + 1)^2 . 2k (2k + 2)(4k^2 + 4k + 1 + 2) 
= 4k(k + 1)(2k + 1)^2 (4k^2 + 4k + 3) 
k(k + 1) chia hết cho 2 vì là tích hai số liên tiếp 
Suy ra A chia hết cho 8 
Do đó A chia hết cho 8 với mọi n thuộc N 
* Nếu n chia hết cho 3 thì A chia hết cho 9. Nên A chia hết cho 72. 
* Nếu n không chia hết cho 3 thì n^2 là số chính phương nên chia 3 dư 1 (vì số chính phương chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1). 
Suy ra n^2 + 2 chia hết cho 3. Mà n (n – 1)(n + 1) là tích 3 số liên tiếp nên có số chia hết cho 3. Suy ra A chia hết cho 9. Do đó A chia hết cho 72. 
Vậy A chia hết cho 72 với mọi n thuộc N.

Chép hả Lý

Từ đề bài ta có A= 3ⁿ⁺¹ (3² + 1) + 2ⁿ⁺¹ (2 +1) = 3ⁿ .3.2.5 + 2ⁿ .2.3

=> ĐPCM;

A = 3 n + 3 + 3 n + 1 + 2 n + 2 + 2 n + 1 = 3 n . 27 + 3 + 2 n + 1 . 4 + 2 = 3 n .30 + 2 n .6 = 6. 3 n .5 + 2 n ⋮ 6

Lời giải. Bước cơ sở: Với n = 1, ta có S1 = 1 + 1 = 2 chia hết cho 21 = 2. Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề đúng với n = k, nghĩa là Sk = (k + 1)(k + 2) ...(k + k) chia hết cho 2k , ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. Thật vậy, Sk+1 = (k + 2)(k + 3) ...[(k+1) + (k+1)]= 2(k + 1)(k + 2)...(k + k) = 2Sk. Theo giả thiết quy nạp Sk chia hết cho 2k , suy ra Sk+1 chia hết cho 2k+1. Theo nguyên lí quy nạp toán học Sn chia hết 2n với mọi n nguyên dương.