Ta có:

 S = 1.1!+2.2!+3.3!+.....+100.100!

 S = (1+1-1).1!+(2+1-1).2!+...+(100+1-1).100!

 S = 2!-1+3!-2!+4!-3!+...+101!-100!

 S = 101!+(100!-100!)+(99!-99!)+...+(2!-2!)-1

 S = 101!-1

k cho mk nha bạn 

                       S=101! - 1

a.13 mũ 40 nhỏ hơn 2 mũ 161

2D = 2¹⁰¹ - 2¹⁰⁰ + 2⁹⁹ -...+2

2D+D= 2¹⁰¹+1

D=...

Bạn tự tính nhé nhớ k cho mình đấy

C= 5³+5⁵+... +5¹⁰¹

⇔25C= 5⁵+ 5⁷+...+5¹⁰³

⇔25C-C=(5⁵+5⁷+...+5¹⁰³) - ( 5³+5⁵+...+5¹⁰¹)

⇔24C=5¹⁰³  - 5³

⇔C=(5¹⁰³ - 5³ ) / 24

CMTT : D=1 + 3²+3⁴+3⁶+ ... + 3¹⁰⁰

⇔9D= 3²+3⁴+3⁶+3⁸+...+ 3¹⁰²

⇔9D-D=(3²+3⁴+3⁶+3⁸+...+ 3¹⁰²) - (1 + 3²+3⁴+3⁶+ ... + 3¹⁰⁰)
⇔8D=3¹⁰²-1

⇔D=(3¹⁰²-1)/8

Để thu gọn biểu thức \( C D \), chúng ta cần tính giá trị của \( C \) và \( D \) trước.

Đầu tiên, ta tính giá trị của \( C \):
\[ C = 5^{3} + 5^{5} + \ldots + 5^{101} \]

Đây là một dãy số hình học với công bội là 5. Ta có thể sử dụng công thức tổng của dãy số hình học để tính tổng này. Công thức tổng của dãy số hình học là:
\[ S = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \]

Trong đó:
- \( S \) là tổng của dãy số hình học
- \( a \) là số hạng đầu tiên của dãy
- \( r \) là công bội của dãy
- \( n \) là số lượng số hạng trong dãy

Áp dụng công thức này vào biểu thức \( C \), ta có:
\[ C = \frac{5^3(1 - 5^{99})}{1 - 5} \]

Tiếp theo, ta tính giá trị của \( D \):
\[ D = 1 + 3^2 + 3^4 + \ldots + 3^{100} \]

Đây là một dãy số hình học với công bội là 9. Ta cũng có thể sử dụng công thức tổng của dãy số hình học để tính tổng này. Áp dụng công thức này vào biểu thức \( D \), ta có:
\[ D = \frac{1(1 - 3^{100})}{1 - 3^2} \]

Cuối cùng, để thu gọn biểu thức \( C D \), ta tính giá trị của \( C D \) bằng cách nhân giá trị của \( C \) và \( D \):
\[ C D = \frac{5^3(1 - 5^{99})}{1 - 5} \times \frac{1(1 - 3^{100})}{1 - 3^2} \]

Bạn có thể tính giá trị cuối cùng của biểu thức \( C D \) bằng cách thực hiện các phép tính trên.

tôi quên chưa thêm dấu + ở C+D

Ta xét biểu thức sau : 

\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n\left(n+1\right)}\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}\left[\left(\sqrt{n+1}\right)^2-\left(\sqrt{n}\right)^2\right]}\)

\(=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)(với n > 0)

Áp dụng : \(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}\)

\(=\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+...+\left(\frac{1}{\sqrt{99}}-\frac{1}{\sqrt{100}}\right)\)

\(=1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}}-\frac{1}{\sqrt{100}}=1-\frac{1}{\sqrt{100}}=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}\)

why the heck difficult