Toán lớp 7??....

a, Theo hệ thức viét ta có : 

Vì x1=1 và x2=-1 là 2 nghiệm của pt : f(x)=ax^2+bx+c nên : 

\(x_1.x_2=\frac{c}{a}=-1\cdot1=-1\) => \(a=-c\) 

Vậy a và c là 2 số đối nhau 

b, Ta có : f(x-1)=a(x-1)^2+b(x-1)+c

=> \(f\left(x\right)-f\left(x-1\right)=ax^2+bx+c-\left[a\left(x-1\right)^2+b\left(x-1\right)+c\right]\)

\(=2ax+a+b\)

Mặt khác : f(x)-f(x-1)=x nên : \(2ax+a+b=x\)

<=> \(x\left(2a-1\right)+a+b=0\)

Do \(a\ne0\) ( đk của pt bậc 2 ) nên a=1/2 và a+b=0 ( nghiệm thoả mãn ) 

=> \(f\left(x\right)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x+c\)

Áp dụng kết quả trên ta có : \(f\left(1\right)-f\left(0\right)=1\)

............

 \(f\left(n\right)-f\left(n-1\right)=n\) 

=> \(1+2+3+...+n=f\left(1\right)-f\left(0\right)+f\left(2\right)-f\left(1\right)+...+f\left(n\right)-f\left(n-1\right)\)

\(=f\left(n\right)-f\left(0\right)=\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}n+c-\left(0\cdot a+0\cdot b+c\right)=\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}n\)

\(\frac{x^2}{2y}+\frac{y^2}{2x}+\frac{y^2}{2z}+\frac{z^2}{2y}+\frac{z^2}{2x}+\frac{x^2}{2z}\ge\frac{\left(2x+2y+2z\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}=x+y+z\)

\(\frac{7x+5y}{3x-7y}=\frac{7z+5t}{3z-7t}=>\frac{7x+5y}{7z+5t}=\frac{3x-7y}{3z-7t}\)

=>\(\frac{7x}{7z}=\frac{5y}{5t}=\frac{3x}{3z}=\frac{7y}{7t}\)(t/c ngược của t/c dãy tỉ số bằng nhau)

=>\(\frac{x}{z}=\frac{y}{t}=\frac{x}{z}=\frac{y}{t}\)

 TỪ \(\frac{x}{z}=\frac{y}{t}=>\frac{x}{y}=\frac{z}{t}\)(ĐPCM)

alexander sky sơn tùng mặt toàn phân

//////////////////////////////////////////////////////////////

a) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

        \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\)

Dấu "=" xảy ra  \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)

b)  Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

    \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}\ge2\sqrt{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}.\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}}=2\)

Dấu "=" xảy ra  \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)( Với x,y >0)

Nhân cả 2 vế với 2 rồi áp dụng. Ra ngay

Từ biểu thức trên không thể có x = y

\(\sqrt{\left(2-\frac{1}{y}\right).\frac{1}{y}}=\sqrt{\left(2-\frac{1}{x}\right).\frac{1}{x}}\)

=> \(\left(2-\frac{1}{y}\right).\frac{1}{y}=\left(2-\frac{1}{x}\right).\frac{1}{x}\)

=> \(\frac{2}{y}-\frac{1}{y^2}=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\)

=> \(\frac{2}{x}-\frac{2}{y}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2}\)

=> \(2.\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)\)( # )

Với x = y

=> \(\frac{1}{x}=\frac{1}{y}\)

=> \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=0\)

=> ( # ) luôn đúng

Với \(x\ne y\)

=> \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\ne0\)

Chia cả hai vế của ( # ) cho \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\)

=> 2 = \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)

Vậy với x, y thỏa mãn \(2=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)hoặc x = y ( x, y > 0 ) thì \(\sqrt{\left(2-\frac{1}{y}\right).\frac{1}{y}}=\sqrt{\left(2-\frac{1}{x}\right).\frac{1}{x}}\)luôn đúng và với \(x\ne y\)thì biểu thức vẫn có thể đúng.

Vậy với biểu thức đúng thì x chưa chắc đã bằng y

Cám ơn Nguyễn Chí Thành

Bạn đúng rồi

Đúng là mk nghĩ thiếu thường hợp .

^.^