Gọi M là trung điểm BC ; N là điểm đối xứng với H qua M.

M là trung điểm của BC và HN nên BNCH là hình bình hành

\(\Rightarrow NC//BH\)

Mà \(BH\perp AC\Rightarrow NC\perp AC\)hay AN là đường kính của đường tròn ( O ) 

Dễ thấy OM là đường trung bình \(\Delta AHN\) suy ra \(OM=\frac{1}{2}AH\)

M là trung điểm BC nên OM \(\perp\)BC

Xét \(\Delta AHG\)và \(\Delta OGM\)có :

\(\widehat{HAG}=\widehat{GMO}\); \(\frac{GM}{GA}=\frac{OM}{HA}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\Delta AGH~\Delta MOG\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{AGH}=\widehat{MGO}\)hay H,G,O thẳng hàng

gọi E,F,T lần lượt là trung điểm của AB,CD,BD

Đường thẳng ME cắt NF tại S

Vì AC = BD \(\Rightarrow EQFP\)là hình thoi \(\Rightarrow EF\perp PQ\)( 1 )

Xét \(\Delta TPQ\)và \(\Delta SEF\)có : \(ME\perp AB,TP//AB\)

Tương tự , \(NF\perp CD;\)\(TQ//CD\)

\(\Rightarrow\Delta TPQ~\Delta SEF\)( Góc có cạnh tương ứng vuông góc )

\(\Rightarrow\frac{SE}{SF}=\frac{TP}{TQ}=\frac{AB}{CD}\)

Mặt khác : \(\Delta MAB~\Delta NCD\Rightarrow\frac{AB}{CD}=\frac{ME}{NF}\)( tỉ số đường cao = tỉ số đồng dạng )

Suy ra : \(\frac{ME}{NF}=\frac{SE}{SF}\)\(\Rightarrow EF//MN\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(MN\perp PQ\)

Bài 4:

\({}\)

a) Vì \(\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o\) nên tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn đường kính BC. Tương tự như thế, tứ giác AEDB nội tiếp đường tròn đường kính AB. Cũng có \(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^o\) nên tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH.

Ta có \(\widehat{IEM}=\widehat{IEB}+\widehat{BEM}\) 

\(=\left(90^o-\widehat{IEA}\right)+\widehat{EBC}\)

\(=90^o-\widehat{EAD}+\widehat{EBD}=90^o\) (do \(\widehat{EBD}=\widehat{EAD}\))

Vậy \(IE\perp ME\)

b) Dễ thấy các điểm I, D, E, F, M, K cùng thuộc đường tròn đường kính IM. Gọi J là trung điểm AI thì I chính là tâm của đường tròn (AIK) nên (J) tiếp xúc với (I) tại A. Dẫn đến A nằm trên trục đẳng phương của (I) và (J)

 Mặt khác, ta có \(SK.SI=SE.SF\) nên \(P_{S/\left(I\right)}=P_{S/\left(J\right)}\) hay S nằm trên trục đẳng phương của (I) và (J). Suy ra AS là trục đẳng phương của (I) và (J). \(\Rightarrow\)\(AS\perp IJ\) hay AS//BC (đpcm).

c) Ta thấy tứ giác AKEP nội tiếp đường tròn AP

\(\Rightarrow\widehat{APB}=\widehat{MKE}=\widehat{MDE}=\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow\Delta BAE~\Delta BPA\left(g.g\right)\Rightarrow\widehat{BAP}=\widehat{BEA}=90^o\)

\(\Rightarrow\) AP//QH \(\left(\perp AB\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{IAP}=\widehat{IHQ}\) (2 góc so le trong)

Từ đó dễ dàng chứng minh \(\Delta IAP=\Delta IHQ\left(g.c.g\right)\) \(\Rightarrow IP=IQ\) hay I là trung điểm PQ (đpcm)

a: Xét (O) có

ΔBMC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBMC vuông tại M

=>CM\(\perp\)MB tại M

=>CM\(\perp\)AB tại M

Xét (O) có

ΔBNC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó ΔBNC vuông tại N

=>BN\(\perp\)NC tại N

=>BN\(\perp\)AC tại N

Xét ΔABC có
BN,CM là các đường cao

BN cắt CM tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

b: Gọi K là giao điểm của AH và BC

Xét ΔABC có

H là trực tâm của ΔABC

K là giao điểm của AH và BC

Do đó: AH\(\perp\)BC tại K

Ta có: ΔAMH vuông tại M

mà ME là đường trung tuyến

nên EM=EH

=>ΔEMH cân tại E

=>\(\widehat{EMH}=\widehat{EHM}\)

mà \(\widehat{EHM}=\widehat{KHC}\)(hai góc đối đỉnh)

và \(\widehat{KHC}=\widehat{ABC}\left(=90^0-\widehat{MCB}\right)\)

nên \(\widehat{EMH}=\widehat{ABC}\)

Ta có: OM=OC

=>ΔOMC cân tại O

=>\(\widehat{OMC}=\widehat{OCM}\)

Ta có: \(\widehat{EMO}=\widehat{EMH}+\widehat{OMC}\)

\(=\widehat{ABC}+\widehat{OCM}\)

\(=90^0\)

=>ME là tiếp tuyến của (O)

c: Gọi I là giao điểm của EO và MN

Ta có: ΔHAN vuông tại N

mà NE là đường trung tuyến

nên NE=AE=ME

Ta có: NE=ME

=>E nằm trên trung trực của NM(1)

Ta có: OM=ON

=>O nằm trên đường trung trực của MN(2)

Từ (1) và (2) suy ra OE là đường trung trực của MN

=>OE\(\perp\)MN tại trung điểm I của MN

Xét ΔMEO vuông tại M có MI là đường cao

nên \(MI\cdot EO=ME\cdot MO\)

=>\(2\cdot MI\cdot EO=2\cdot ME\cdot MO\)

=>\(MN\cdot OE=2\cdot ME\cdot MO\)

Ta cần chứng minh H là trực tâm của tam giác ASM. Với mục đích này, ta sẽ sử dụng tính chất của hình chữ nhật.

Vì M là trung điểm BC, ta có BM = MC. Do đó, SM là đường trung trực của BC.

Vì EF ⊥ BE và CF, nên EF song song với đường BC (vì BE // CF). Do đó, S nằm trên đường trung trực của BC.

Vì H là giao điểm của AD và BE, ta có AH  ⊥ BC và BH ⊥ AC. Do đó, AH // SM và BH // SM.

Khi đó, ta suy ra được rằng tứ giác ABSH là hình chữ nhật (do có 2 cặp cạnh đối nhau là song song và bằng nhau).

Do AS là đường chéo của hình chữ nhật ABSH, nên H là trực tâm của tam giác ASM.

Vậy, H là trực tâm của tam giác ASM. 

giúp em với ạ:(

a: Kẻ AN là đường kính của (O)

góc ABN=1/2*180=90 độ

=>BN//CH

góc ACN=1/2*180=90 độ

=>CH//BN

=>BHCN là hình bình hành

=>M là trung điểm của HN

Xét ΔAHN có NM/NH=NO/NA

nên OM//AH và OM=AH/2

=>AH=2OM

c: ΔOKL cân tại O

mà OI là đường cao

nên I là trung điểm của KL

câu hỏi tương tự