cho hình vuông ABCD, có hình vuông A'B'C'D' nằm trong sao cho thứ tự các đỉnh theo cùng một chiều là như nhau, chứng minh trung điểm các cạnh AA',BB',CC',DD' là đỉnh các hình vuông
Cho 4 điểm A, C', D', B theo thứ tứ nằm trên cùng một đường thẳng a
Trong cùng 1 nửa mặt phẳng bờ a vẽ các hình vuông ABCD và A'B'C'D'
CMR: AA', BB', CC', DD' đồng quy
Gọi O là giao điểm của AA' và BB'. Ta sẽ chứng minh rằng các đường thẳng CC', DD' cũng đi qua O. Thật vậy:
\(\frac{OB'}{OB}=\frac{OA'}{OA}=\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}\)
Do đó tam giác OB'C' và tam giác OBC đồng dạng (c.g.c)
=> góc B'OC' = góc BOC
từ đó C, O, C' thẳng hàng hay CC' đi qua O
tương tự DDO'
Từ bốn đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz và Dt sao cho chúng cắt mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng (α) cắt bốn nửa đường thẳng theo thứ tự nói trên tại A’, B’, C’ và D’.
a) Chứng minh rằng (Ax,By) // (Cz,Dt) và (Ax,Dt) // (By,Cz)
b) Tứ giác A'B'C'D' là hình gì?
c) Chứng minh AA′ + CC′ = BB′ + DD′.
a) Ta có:
⇒ Ax // (Cz,Dt)
Từ Ax, AB ⊂ (Ax,By) suy ra (Ax, By) // (Cz, Dt)
Tương tự ta có (Ax, Dt) // (By,Cz)
b)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành.
c) Gọi O, O’ lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD, A’B’C’D’. Dễ thấy OO’ là đường trung bình của hình thang AA’, suy ra
Tương tự ta có:
Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng d nằm ngoài hình bình hành. Gọi A',B',C',D' theo thứ tự là hình chiếu của các đỉnh A,B,C,D lên đường thẳng d
Chứng minh: AA'+CC'=BB'+DD'
cho hình vuông ABCD 1 đường thẳng xy quay quanh điểm O ( O là giao điểm 2 đường chéo hình vuông ) và không đi qua đỉnh nào của hình vuông. Kẻ AA', BB',CC',DD' lần lượt vuông góc với đường thẳng xy. Cmr: AA'^2 + BB'^2 + CC'^2 + DD'^2 có độ lớn không đổi.
Cho hình bình hành A'B'C'D' nằm trong hình bình hành ABCD. M,N,P,Q lần lượt là trung là trung điểm của AA',BB',CC',DD'.
Chứng minh MNPQ là hình bình hành.
Từ bốn đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Xz và Dt sao cho chúng cắt mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) cắt bốn nửa đường thẳng theo thứ tự nói trên tại A', B', C' và D'
a) Chứng minh rằng (Ax, By) // (Cz, Dt) và (Ax, Dt) // (By, Cz)
b) Tứ giác A'B'C'D' là hình gì ?
c) Chứng minh AA' + CC' = BB' + DD'
Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là tâm các hình vuông có cạnh AB, BC, CD, AD dựng ra phía ngoài tứ giác.
Chứng minh rằng :
a) Tứ giác EFGH có 2 đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau.
b) Trung điểm các đường chéo của các tứ giác ABCD, EFGH là đỉnh 1 hình vuông.
Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là tâm các hình vuông có cạnh AB, BC, CD, AD dựng ra phía ngoài tứ giác.
Chứng minh rằng :
a) Tứ giác EFGH có 2 đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau.
b) Trung điểm các đường chéo của các tứ giác ABCD, EFGH là đỉnh 1 hình vuông.
THam khảo nha :
Xét bài toán: Cho tam giác ABC.ABC. Dựng hình vuông ABEFABEF và ACGHACGH phía ngoài tam giác. P,P, QQ theo thứ tự là tâm của hình vuông ABEFABEF và ACGH.ACGH. Lấy MMtrung điểm BC.BC. Chứng minh tam giác PQMPQM vuông cân tại M.M.
Lời giải:
Dễ dàng chứng minh được MPMP và MQMQ theo thứ tự là đường trung bình của tam giác BCFBCF và BCH.BCH.
Suy ra MP∥CF ; MP=12CFMP∥CF ; MP=12CF và MQ∥BH ; MQ=12BH. (1)MQ∥BH ; MQ=12BH. (1)
Ta có:
ˆBAH=ˆBAF+ˆFAH=90∘+ˆFAHBAH^=BAF^+FAH^=90∘+FAH^
ˆCAF=ˆCAH+ˆFAH=90∘+ˆFAHCAF^=CAH^+FAH^=90∘+FAH^
Do đó ˆBAH=ˆCAF.BAH^=CAF^.
Từ đó chứng minh được △AFC=△ABH (c.g.c)△AFC=△ABH (c.g.c)
⇒ˆFCA=ˆBHA⇒FCA^=BHA^
Gọi II và OO theo thứ tự là giao điểm của CFCF với BHBH và AH.AH.
Khi đó ˆOCA=ˆIHOOCA^=IHO^
Mà ˆOCA+ˆAOC=90∘OCA^+AOC^=90∘ và ˆAOC=ˆIOHAOC^=IOH^ ((đối đỉnh))
Nên ˆIHO+ˆIOH=90∘,IHO^+IOH^=90∘, suy ra ˆHIO=90∘HIO^=90∘
Do đó IH⊥IOIH⊥IO hay BH⊥CF. (2)BH⊥CF. (2)
Vì △AFC=△ABH (c.g.c)△AFC=△ABH (c.g.c) nên CF=BH. (3)CF=BH. (3)
Từ (1),(1), (2)(2) và (3)(3) suy ra MP=MQMP=MQ và MP⊥MQ.MP⊥MQ. Vậy tam giác MPQMPQ vuông cân tại M.M.
★★★★★★★★★★★★★★★★
Quay lại bài toán. Gọi MM là trung điểm ACAC
Áp dụng kết quả trên, ta chứng minh được tam giác EMFEMF và HMGHMG vuông cân tại M.M.
Từ đó chứng minh được △MEG=△MFH (c.g.c)△MEG=△MFH (c.g.c)
Rồi suy ra EG=HFEG=HF và EG⊥HF.EG⊥HF.
b)b) Gọi PP và QQ lần lượt là trung điểm HFHF và EGEG
Từ △MEG=△MFH (c.g.c)△MEG=△MFH (c.g.c) dễ dàng chứng minh được △MPF=△MQE (c.g.c)△MPF=△MQE (c.g.c)
Suy ra MP=MQMP=MQ và ˆPMF=ˆQME ⇒ ˆPMQ=ˆEMF=90∘PMF^=QME^ ⇒ PMQ^=EMF^=90∘
Do đó tam giác MPQMPQ vuông cân tại MM
Gọi NN trung điểm BD.BD. Chứng minh tương tự như trên, ta được tam giác NPQNPQ vuông cân tại N.N.
Suy ra tứ giác MPNQMPNQ là hình vuông.
Trên mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) cho hình vuông ABCD. Các tia Ax, By, Cz, Dt vuông góc với mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) và nằm về một phía đối với mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) . Một mặt phẳng \(\left(\beta\right)\) lần lượt cắt \(Ax,By,Cz,Dt\) tại A', B', C', D'.
a) Tứ giác A'B'C'D' là hình gì ? Chứng minh rằng AA' + CC'=BB'+DD'
b) Chứng minh rằng điều kiện để tứ giác A'B'C'D' là hình thoi là nó có hai đỉnh đối diện cách đều mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\)
c) Chứng minh rằng điều kiện để tứ giác A'B'C'D' là hình chữ nhật là nó có hai đỉnh kề nhau cách đều mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\)