sao lại ax^ là như nào vậy hả bạn

\(+f\left(0\right)=c\in Z\Rightarrow c\in Z\)

\(+f\left(2n\right)=4n^2.a+2n.b+c\in Z\Rightarrow n\left(4n.a+2b\right)\in Z\Rightarrow4n.a+2b\in Z\)với mọi số nguyên n.

\(+f\left(2n+1\right)=\left(4n^2+4n+1\right).a+\left(2n+1\right).b+c=\left(4n^2.a+2n.b\right)+\left(4n+1\right)a+b+c\in Z\) \(\Rightarrow\left(4n+1\right)a+b\in Z\)với mọi số nguyên n.

Suy ra: \(\left(8n+2\right)a+2b-\left(4n.a+2b\right)=\left(4n+2\right)a=\left(2n+1\right).2a\in Z\)với mọi số nguyên n

\(\Rightarrow2a\in Z\)

Mà \(4n.a+2b=2.2a+2b\in Z\)

\(\Rightarrow2b\in Z\)

Vậy \(2a,\text{ }2b,\text{ }c\in Z\)

em ko biết

\(f\left(0\right)=a.0^2+b.0+c=c\) có giá trị nguyên 

\(f\left(1\right)=a+b+c\) có giá trị nguyên => a + b có giá trị nguyên 

\(f\left(2\right)=4a+2b+c=2a+2\left(a+b\right)+c\)=> 2a có giá trị nguyên 

=> 4a có giá trị nguyên 

=> 2b có giá trị nguyên.

\(P\left(x\right)=ax^2+bx+c\)

Thấy rằng: \(\hept{\begin{cases}P\left(0\right)=x\\P\left(1\right)=a+b+c\\P\left(-1\right)=a-b+c\end{cases}}\)

Do P(x) nguyên với mọi x nguyên nên P(0) = c là số nguyên.

Mặt khác: \(2\left(a+c\right)=P\left(1\right)+P\left(-1\right)\inℤ\Rightarrow2a\text{ là SN}\) 

P(1) nguyên c nguyên nên a + b nguyên

Ta có: \(P\left(x\right)=2ax^2+2\left(a+b\right)x+2c-2ax\) (1)

Nhận thấy VP(1) là số chẵn với mọi x nguyên và 2a; a + b; c nguyên nên => đpcm

bn ơi sao ở trên P(0)=x mà ở dưới lại suy ra đc P(0)=c vậy, c không = x mà

) f(0) = c; f(0) nguyên => c nguyên     (*)
f(1) = a+ b + c ; f(1) nguyên => a+ b + c nguyên     (**)
f(2) = 4a + 2b + c ; f(2) nguyên => 4a + 2b + c nguyên    (***)
Từ (*)(**)(***) => a + b và 4a + 2b nguyên
4a + 2b = 2a + 2.(a + b) có giá trị  nguyên  mà 2(a+ b) nguyên do a+ b nguyên
nên 2a nguyên => 4a có giá trị nguyên mà 4a + 2b nguyên do đó 2b có giá trị nguyên

:3

Có \(f\left(0\right);f\left(1\right);f\left(2\right)\)\(\in Z\Rightarrow\hept{\begin{cases}f\left(0\right)=c\in Z\\f\left(1\right)=a+b+c\in z\\f\left(2\right)=4a+2b+c\in z\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b\in z\\4a+2b\in z\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a+2b\in z\\4a+2b\in z\end{cases}}\Rightarrow2a\in z;}2b\in z\)

\(\RightarrowĐPCM\)

Thay x= 0 =>f(0)= 0+0+c=c luôn thuộc Z ( vì f(0) thuộc Z)

Thay x=1 => f(1)= a+b+c => a+b thuộc Z => 2a+2b thuộc Z (1)

Thay x=2 => f(2) = 4a+2b+c => 4a+2b thuộc Z (2)

từ (1), (2) => 4a+2b - (2a+2b) =2a thuộc Z

mặt khác f(1) +f(2)=6a+4b thuộc Z => 6a+4b -(4a+2b) thuộc Z

=> 2b+2a thuộc Z =>2b thuộc Z

vì giá trị của đa thức tại x=0; x=1; x=-1 là các số nguyên nên f(0); f(1); f(-1) là các số nguyên

=>f(0)= a.0^2+b.0+c=c là số nguyên

    f(1)=a.1^2+b.1+c=a+b+c là số nguyên, mà c là số nguyên nên a+b cũng là số nguyên

    f(-1)= a.(-1)^2+b.(-1)+c=a-b+c là số nguyên, mà c là số nguyên nên a-b là số nguyên

    ta có a-b; b+a là số nguyên (chứng minh ở trên)

=> (a-b)+(b+a)=a-b+b+a=a+a=2a là một số nguyên

vậy 2a;a+b;c là các số nguyên