a)17913

b)n=6

Vì n là số tự nhiên nên \(n+n^2< n^2+2n+1=\left(n+1\right)^2\)

Suy ra : \(\left(1+1^2\right)\left(2+2^2\right)\left(3+3^2\right)...\left(n+n^2\right)< \left(1+1\right)^2.\left(2+1\right)^2.\left(3+1\right)^2...\left(n+1\right)^2\)

                                                                                            \(=\left[1.2.3...\left(n+1\right)\right]^2=\left[\left(n+1\right)!\right]^2\)

\(\Rightarrow\left[\left(n+1\right)!\right]^2>7620042014\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)!>\sqrt{7620042014}>\sqrt{7619893264}=87292\)

Mà \(8!=40320< 87292\) ; \(9!=362880>87292\)

Vì n nhỏ nhất nên n + 1 nhỏ nhất. Do vậy n + 1 = 9 => n = 8

n =10

sorry, mới học có lớp 6

Ta có: 

2^n -1-2-2^2-2^3- ......... - 2^100 = 1

=> 2^n= 1+1+2+2^2+2^3+ ........ + 2^100.

=> 2 x 2^n= 2+2+4+2^3+2^4+ ....... + 2^101

=> 2^n = 2 x 2^n - 2^n= (2+2+4+2^3+2^4+......+2^101) - (1+1+2+2^2+2^3+ ....... + 2^100) =(2 + 2^101) - ( 1+1)= 2 + 2^101 - 2 = 2^101.

=> n= 101.

Goi số cần tìm là: a( a là số tự nhiên)

Theo bài ra ta có:

a chia 4 ( dư 3 ) ; a chia 3 ( dư 2 ) ; a chia 2 ( dư 1)

a+1 chia hết cho 4 ; a+1 chia hết cho 3 ; a+1 chia hết cho 2

Vì a nhỏ nhất có thể suy ra a+1 nhỏ nhất có thể

Suy ra a+1=12

  a=12-1=11(thỏa mãn)

Vậy số cần tìm là 11