Vì n là số tự nhiên nên \(n+n^2< n^2+2n+1=\left(n+1\right)^2\)

Suy ra : \(\left(1+1^2\right)\left(2+2^2\right)\left(3+3^2\right)...\left(n+n^2\right)< \left(1+1\right)^2.\left(2+1\right)^2.\left(3+1\right)^2...\left(n+1\right)^2\)

                                                                                            \(=\left[1.2.3...\left(n+1\right)\right]^2=\left[\left(n+1\right)!\right]^2\)

\(\Rightarrow\left[\left(n+1\right)!\right]^2>7620042014\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)!>\sqrt{7620042014}>\sqrt{7619893264}=87292\)

Mà \(8!=40320< 87292\) ; \(9!=362880>87292\)

Vì n nhỏ nhất nên n + 1 nhỏ nhất. Do vậy n + 1 = 9 => n = 8

n =10

sorry, mới học có lớp 6

a)17913

b)n=6

Ta có: $1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Nên $1+2+3+...+n>0⇔\dfrac{n(n+1)}{2}>100$

$⇔n(n+1)>200$

với $n=1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13$ khi thay vào ta thấy $n(n+1)<200$

nên loại 

với $n=14⇒n(n+1)=14.15=210>200$ chọn

Vậy số tự nhiên n nhỏ nhất là 14 thỏa mãn đề