Một số tự nhiên luôn có 1 trong 10 số dư khi chia cho 10

=> trong 11 số tự nhiên bất kì thì luôn có 2 số có cùng số dư trong phép chia cho 10

=> trong 11 số tự nhiên bất kì luôn có 2 số có chữ số tận cùng giống nhau(đpcm)

Gọi 11 số đó là a1,a2..a11

Đem chia 11 số đó cho 10

Vì có 11 phép chia mà chỉ cho 10 số dư

\(\Rightarrow\)có 2 số cx số dư khi chia cho 10

Gọi 2 số đó là d\(_k\) và d\(_j\)\(\Rightarrow\)d\(_k\) và d\(_j\) chia hết cho 10(đpcm)

Gọi 11 số đó là a1, a2,...,a11

Đem chia 11 số đó cho 10

Vì có 11 phép chia mà chỉ cho 10 số dư

=> Có 2 số có chung số dư khi chia cho 10

Gọi 2 số đó là ak và aj

=> ak-aj chia hết cho 10

=> dpcm

Theo nguyên lí Đi - rích - lê

Trong 11 số tự nhiên bất kì, số dư của chúng khi chia cho 10 có 10 chữ số sau 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9

Và có 11 số nhưng chỉ có 10 số dư 

=> Có ít nhất 2 số trong 11 số đó có cùng số dư khi chia cho 10

Vậy hiệu 2 số này sẽ chia hết cho 10 

Mà những chữ số tận cùng là 0 thì chia hết cho 10

=> Trong 11 số tự nhiên bất kì luôn có hai số có chữ số tận cùng giống nhau (đpcm).

nhanh nha cac bn !  mai minh phai nop bai roi !

123456789.........hehe

Xét các tổng \(S_1=a_1\), \(S_2=a_1+a_2\),..., \(S_{10}=a_1+a_2+...+a_{10}\).

Trường hợp có tổng nào trong 10 tổng trên chia hết cho \(10\)ta có đpcm. 

Trường hợp không có tổng nào trong 10 tổng trên chia hết cho \(10\), khi đó số dư của các tổng trên cho \(10\)sẽ có 9 giá trị từ \(1\)đến \(9\). 

Khi đó sẽ có ít nhất 2 trong 10 tổng trên có cùng số dư khi chia cho \(10\). 

Khi đó hiệu của 2 tổng đó sẽ là 1 số chia hết cho \(10\), đó là 1 số hoặc tổng 1 số các số liên tiếp nhau trong dãy. 

Ta có đpcm.