a) Vì C M A = D M B = 60 o ⇒ C M B = D M A = 120 o .  Xét ∆ CMB và ∆ AMD có

C M = A M C M B = D M A ⇒ Δ C M B = Δ A M D ( c . g . c ) M B = M D ⇒ M C B = M A D M B C = M D A

Suy ra AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp

c) Ta có EF là đường trung trực của PM ⇒ EP = EM ⇒ ∆ EPM cân tại E

Mặt khác EPM = ACM = 60^o (do AMPC là tứ giác nội tiếp) nên ∆ EPM đều

⇒ PE = PM . Tương tự PF = PM

Ta có CM // DB nên PCM = PBD

Mà BMPD là tứ giác nội tiếp nên  PBD = PMD. Suy ra PCM = PMD

Ta lại có CPM = DPM = 120^o ⇒ Δ C P M ~ Δ M P D ( g . g ) ⇒ C P M P = P M P D ⇒ C P P F = P E P D

Theo định lý Talét đảo ta có CE // DF ⇒ CDFE là hình thang.

Bài giải:

1, Vì △AMD đều => AMD = DAM = MDA = 60^o và AM = MD = AD

Vì △MBC đều => MBC = BMC = BCM = 60^o  và MC = MB = BC

Xét △ABE có: ABE + AEB + EAB = 180^o (tổng 3 góc trong tam giác)

=> 60^o + 60^o + AEB = 180^o 

=> AEB = 60^o 

Xét △ABE có: ABE = AEB = EAB = 60^o => △ABE đều

2, Ta có: DMB = DMC + CMB

CMA = DMC + DMA 

Mà CMB = DMA = 60^o 

=> DMB = CMA

Xét △AMC và △DMB

Có: AM = DM (cmt)

    CMA = DMB (cmt)

      MC = MB (cmt)

=> △AMC = △DMB (c.g.c)

b) Vì AMPC là tứ giác nội tiếp nên

C P M = 180 o − C A M = 120 o = C M B ⇒ Δ C P M ~ Δ C M B ( g . g ) ⇒ C P C M = C M C B ⇒ C P . C B = C M 2 ⇒ C P . C B = C M .

Tương tự  D P . D A = D M

Vậy  C P . C B + D P . D A = C M + D M = A M + B M = A B

a) Do AMC và BMD là các tam giác đều nên \(\widehat{AMC}=\widehat{BMD}=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AMD}=\widehat{CMB}\)

Xét tam giác AMD và tam giác CMB có:

AM = CM

MD = MB

\(\widehat{AMD}=\widehat{CMB}\)

\(\Rightarrow\Delta AMD=\Delta CMB\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow AD=BC\)

b) Do \(\Delta AMD=\Delta CMB\Rightarrow\widehat{EAM}=\widehat{FCM}\)

Xét tam giác AEM và tam giác CFM có:

\(\widehat{EAM}=\widehat{FCM}\)

AE = CF (Cùng bằng một nửa AD)

AM = CM

\(\Rightarrow\Delta AEM=\Delta CFM\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow ME=MF\)

Ta cũng có ngay \(\Delta EDM=\Delta FBM\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{EMD}=\widehat{FMB}\)

\(\Rightarrow\widehat{EMF}=\widehat{EMD}+\widehat{DMF}=\widehat{FMB}+\widehat{DMF}=\widehat{DMB}=60^o\)

Xét tam giác MEF có ME = MF nên nó là tam giác cân. Lại có \(\widehat{EMF}=60^o\) nên tam giác MEF là tam giác đều.

a) Dễ thấy: ^CMD = 180⁰ - (^AMC + ^BMD) = 60⁰

Ta có: ^CMB = ^CMD + ^BMD = 120⁰; ^AMD = ^CMD + ^AMC = 120⁰

=> ^CMB = ^AMD. 

Xét \(\Delta\)MCB và \(\Delta\)MAD có: MC=MA; ^CMB = ^AMD; MB=MD => \(\Delta\)MCB = \(\Delta\)MAD (c.g.c)

=> BC = AD (2 cạnh tương ứng) (đpcm).

b)  BC=AD (cmt) => 1/2.BC=1/2.AD => CF=AE

\(\Delta\)MCB = \(\Delta\)MAD (cmt) => ^MCB = ^MAD hay ^MCF = ^MAE

Xét \(\Delta\)MFC và \(\Delta\)MEA có: CF=AE; ^MCF= ^MAE; MC=MA => \(\Delta\)MFC = \(\Delta\)MEA (c.g.c)

=> MF = ME (2 cạnh tương ứng) (1)

Đồng thời ^CMF = ^AME (2 góc tương ứng). Mà ^AME + ^CME = 60⁰

=> ^CMF + ^CME = 60⁰ => ^EMF = 60⁰ (2)

Tù (1) và (2) => \(\Delta\)MEF đều (đpcm).