Gọi d=ƯCLN(8a+3b;5a+2b)

=> \(8a+3b⋮d\)

 \(5a+2b⋮d\)

=> \(5\left(8a+3b\right)⋮d\)

\(8\left(5a+2b\right)⋮d\)

=>\(40a+15b⋮d\)

\(40a+16b⋮d\)

=>\(\left(40a+16b\right)-\left(40a+15b\right)⋮d\)

=>\(b⋮d\)

Có \(8a+3b⋮d\)

\(5a+2b⋮d\)

=> \(2\left(8a+3b\right)⋮d\)

\(3\left(5a+2b\right)⋮d\)

=>\(16a+6b⋮d\)

\(15a+6b⋮d\)

=>\(\left(16a+6b\right)-\left(15a+6b\right)⋮d\)

=> \(a⋮d\)

Ta có \(a⋮d\), \(b⋮d\), mà a,b là 2 số nguyên tố cùng nhau 

=>d=1

Vì ƯCLN(8a+3b;5a+2b)=1 nên phân số đã cho tối giản

Gọi x là \(ƯC\left(8a+3b,5a+2b\right)\)

Ta có : \(8a+3b⋮x,5a+2b⋮x\)

\(\Rightarrow8a+3b-5a+2b⋮x\)

\(\Rightarrow2\left(8a+3b\right)-3\left(5a+2b\right)⋮x\)

\(\Rightarrow16a+16b-15a+6b⋮x\)

\(\Rightarrow1a⋮x\)

Vậy \(d=1\)nên \(8a+3b\)và \(5a+2b\)cũng là hai số nguyên tố cùng nhau

Gọi \(d=ƯCLN\)\(\left(8a+3b;5a+2b\right)\)\(\left(d>0\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}8a+3b⋮d\\5a+2b⋮d\end{cases}\left(1\right)}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(8a+3b\right)⋮d\\8\left(5a+2b\right)⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}40a+15b⋮d\\40a+16b⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(40a+16b\right)-\left(40a+15b\right)⋮d\)

\(\Rightarrow b⋮d\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(8a+3b\right)⋮d\\3\left(5a+2b\right)⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}16a+6b⋮d\\15a+6b⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(16a+6b\right)-\left(15a+6b\right)⋮d\)

\(\Rightarrow a⋮d\left(3\right)\)

Từ \(\left(2\right)\)và \(\left(3\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}a⋮d\\b⋮d\end{cases}}\)

Mà \(\left(a;b\right)=1\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\left(8a+3b;5a+2b\right)=1\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Gọi d là ƯC (8a+3b;5a+2b)

Ta có 8a+3b \(⋮\)d ; 5a+2b\(⋮\)d

=> 8a+3b-5a+2b\(⋮\)d

=> 2(8a+3b)-3(5a+2b)\(⋮\)d

=>16a+6b-15a+6b\(⋮\)d

=>1a \(⋮\)d

Vậy d=1 nên 8a+3b và 5a+2b cũng là 2 số nguyên tô cùng nhau

Ta có: 8a+3b\(⋮d\)

5a+2b\(⋮d\)\(\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}40a+15b⋮d\\40a+16b⋮d\end{cases}}\)\(\Rightarrow\left(40a+16b\right)-\left(40a+15b\right)⋮d\)

\(\Rightarrow b⋮d\)

Mà a và b là hai số nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow d=1\)

Vậy 8a+3b và 5a+2b cũng là hai số nguyên tố cùng nhau

Gọi (8a+3b;5a+2b)=d(d\(\in\)N*)

Ta có d là ƯC(8a+3b;5a+2b)

Mà \(8a+3b⋮d;5a+2b⋮d\)

Nên 8a+3b-5a+2b

\(\Rightarrow2\left(8a+3b\right)-3\left(5a+2b\right)⋮d\)

\(\Leftrightarrow1⋮d\)

Vậy...

Gọi (8a+3b;  5a+2b) = d

Ta có:  8a + 3b  \(⋮d\)

            5a + 2b \(⋮d\)

Xét hiệu:  8(5a + 2b)  -  5(8a + 3b)  \(⋮d\)

\(\Leftrightarrow\)40a + 16b - 40a - 15b  \(⋮d\)

\(\Leftrightarrow\)b \(⋮d\)          (1)

             2(8a + 3b) - 3(5a + 2b) \(⋮d\)

\(\Leftrightarrow\)16a + 6b - 15a - 6b  \(⋮d\)

\(\Leftrightarrow\)a \(⋮d\)            (2)

Từ (1)  và  (2)  suy ra   d \(\inƯC\left(a,b\right)\)

mà a và b  là 2 số nguyên tố cùng nhau 

nên  d = 1

\(\Rightarrow\)8a + 3b  và  5a + 2b   cũng là 2 số nguyên tố cùng nhau

Để 8a + 3b và 5a + 2b là 2 số NTCN nên:

ƯCLN(8a + 3b, 5a + 2b)=1

ƯCLN(8a + 3b, 5a + 2b)

= UWCLN(3a + b, 5a + 2b)

= UWCLN(3a + b, 2a + b)

= UWCLN(a, 2a + b)

= UWCLN(a,a + b)

= UWCLN(a,b)

Vì a và b là 2 số NTCN, nên UWCLN(a,b)=1

                                             => UWCLN(8a+3b, 5a+2b)=1

Vây 8a+3b và 5a+2b là 2 số nguyên tố cùng nhau nếu a và b là 2 số NTCN

Xin lỗi, UWCLN thay bằng ƯCLN nhé!

Xin trân trọng cảm ơn -_-

Gọi d là ƯC(8a+3b;5a+2b)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}8a+3b⋮d\\5a+2b⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(8a+3b\right)⋮d\\8\left(5a+2b\right)⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}40a+15b⋮d\\40a+16b⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(40a+16b\right)-\left(40a+15b\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\RightarrowƯCLN\left(8a+3b;5a+2b\right)=1\)

Vậy 8a+3b và 5a+2b cũng là hai số nguyên tố cùng nhau

\(\frac{8a+3b}{5a+2b}=\frac{5a+3a+b+2b}{5a+2b}=\frac{5a+2b}{5a+2b}+\frac{3a+b}{5a+2b}=1+\frac{3a+b}{5a+2b}\)

⇒ 8a + 3b và 5a + 2b là nguyên tố cùng nhau

⇒ \(\frac{8a+3b}{5a+2b}\) là phân số tối giản

Cách 2 : Gọi d là ƯC ( 8a + 3b; 5a + 2b )

⇒ 8a + 3b ⋮ d ; 5a + 2b ⋮ d

Nên [ ( 8a + 3b ) - ( 5a + 2b ) ] ⋮ d

⇒ [ 2.( 8a + 3b ) - 3.( 5a + 2b ) ] ⋮ d

⇒ [ ( 16a + 6b ) - ( 15a + 6b ) ] ⋮ d

⇒ [ 16a - 15a ] ⋮ d

⇒ 1 ⋮ d ⇒ d = + 1

Vì ƯC ( 8a + 3b; 5a + 2b ) = + 1 nên \(\frac{8a+3b}{5a+2b}\) là phân số tối giản