Ta có: \(\widehat{DQB}=\widehat{CQP}\)(2 góc đối đỉnh).

Dễ thấy CA và CB là hai tiếp tuyến của (I) \(\Rightarrow CP=CQ\)nên tam giác CPQ cân tại C

\(\Rightarrow\widehat{CQP}=\frac{180^0}{2}-\frac{\widehat{C}}{2}=90^0-\frac{\widehat{C}}{2}\Rightarrow\widehat{DQB}=90^0-\frac{\widehat{C}}{2}\left(1\right)\)

Lại có: \(\widehat{DIB}=\widehat{IAB}+\widehat{IBA}=\frac{1}{2}\widehat{A}+\frac{1}{2}\widehat{B}=\frac{1}{2}\left(180^0-\widehat{C}\right)=90^0-\frac{\widehat{C}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat{DQB}=\widehat{DIB}\)=> Tứ giác BIQD nội tiếp đường tròn

=> \(\widehat{BDI}=\widehat{BQI}\). Mà \(\widehat{BQI}=90^0\)\(\Rightarrow\widehat{BDI}=90^0\)

Do đó \(AD\perp BD\)tại D hay \(AI\perp BD\)tại D

Ta thấy tam giác ABC vuông tại A có A; B cố định => \(\widehat{BAC}\)không đổi nên tia phân giác AI của \(\widehat{BAC}\)cố định

Do BD vuông góc với AI tại D (cmt) => BD cố định , vậy nên điểm D là điểm cố định.

Mà PQ đi qua D => PQ luôn đi qua 1 điểm D cố định khi C chuyển động trên tia At (đpcm).

a) Ta có: Đường tròn (O;R) có đường kính CD và điểm A nằm trên cung CD => ^CAD=90⁰

=> ^PAQ=90⁰ => \(\Delta\)APQ vuông tại A

Do PQ là tiếp tuyến của (O) tại B => AB là đường cao của \(\Delta\)APQ

=> ^PAB=^AQP (Cùng phụ ^APQ) hay ^CAO=^DQP

Mà \(\Delta\)AOC cân tại O => ^CAO=^ACO => ^DQP=^ACO

Lại có: ^ACO+^PCD=180⁰ => ^DQP+^PCD=180⁰

=> Tứ giác CPQD nội tiếp đường tròn (đpcm).

b) Xét \(\Delta\)APQ vuông tại A: Có đường trung tuyến AI => \(\Delta\)AIQ cân tại I

=>  ^IAQ=^IQA hay ^IAQ=^DQP => ^IAQ=^ACO (Do ^DQP=^ACO)

Hay ^IAQ=^ACD. Mà ^IAQ+^CAI=90⁰ => ^ACD+^CAI=90⁰ 

=> AI vuông góc với CD (đpcm).

c) Ta thấy tứ giác CPQD nội tiếp đường tròn

=> 4 đường trung trực của CP;CD;DQ;PQ cắt nhau tại 1 điểm (1)

E là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)CPQ => Trung trực của CP và CD cắt nhau tại E (2)

Từ (1) và (2) => Điểm E nằm trên trung trực của PQ.

Lại có: I là trung điểm PQ => E là điểm cách PQ 1 khoảng bằng đoạn EI (*)

AB vuông góc PQ; EI cũng vuông góc PQ => AB//EI hay AO//EI (3)

E thuộc trung trực CD; O là trung điểm CD => OE vuông góc CD.

Mà AI vuông góc CD => OE//AI (4)ư

Từ (3) và (4) => Tứ giác AOEI là hình bình hành => AO=EI (**)

Từ (*) và (**) => E là điểm cách PQ 1 khoảng bằng đoạn AO

Mà AO là bk của (O); PQ là tiếp tuyến của (O) tại B

Nên ta có thể nói: Điểm E là điểm cách tiếp tuyến của (O) tại B một khoảng bằng độ dài bán kính của (O)

Vậy khi đường kính CD thay đổi thì điểm E di động trên đường thẳng song song với tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) và cách (O) 1 khoảng bằng độ dài bk của (O).

Nhận xét

Hình thang ABCD có hai cạnh bên và đáy nhỏ bằng nhau và bằng nửa đáy lớn, nên nó là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AB, tâm O là trung điểm của AB.

Như vậy: ∠(ACB) = ∠(ADB) = 1v.

a) Theo giả thiết, ta có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC

BC ⊥ SA & BC ⊥ AC ⇒ BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ SC. (1)

Mặt khác SB ⊥ (P) nên SB ⊥ IJ (⊂ (P)) (2)

Từ (1) và (2) suy ra BCJI là tứ giác nội tiếp trong đường tròn đường kính BJ.

Ta có BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ AJ (⊂ (SAC))

AJ ⊥ BC & AJ ⊥ SB (do SB ⊥ (P)) ⇒ AJ ⊥ (SBC) ⇒ AJ ⊥ JI (⊂ (SBC)) (3)

Lý luận tương tự, ta có:

BD ⊥ AD & BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAD) ⇒ BD ⊥ AK (⊂ (SAD))

AK ⊥ BD & AK ⊥ SB(⊂ (P)) ⇒ AK ⊥ (SBD) ⇒ AK ⊥ KI. (4)

Từ (3) và (4) suy ra AKJI nội tiếp trong đường tròn đường kính AI nằm trong mặt phẳng (P).

b) Ta có ngay O’ là trung điểm BJ

Vì OO’ là đường trung bình của ΔABJ nên OO’ // AJ

Mà AJ ⊥ (SBC) nên OO’ ⊥ (SBC)

c) Ta có (SCD) ∩ (ABCD) = CD.

Gọi M = JK ∩ CD

SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AM(⊂ (ABCD)) (5)

SB ⊥ (P) ⇒ SB ⊥ AM (⊂ (P)) (6)

Từ (5) và (6), ta có: AM ⊥ (SAB) ⇒ AM ⊥ AB.

Suy ra AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔABC tại A. Như vậy AM cố định. Vì M = AM ∩ CD nên M cố định.

d) ΔAIB vuông tại I nên OA = OB = OI

ΔAJB vuông tại J (do AJ ⊥ (SBC)) nên OA = OB = OJ).

ΔAKB vuông tại K (do AK ⊥ (SBD)) nên OA = OB = OK).

Ta có OA = OB = OC = OD = OI = OJ = OK nên O là điểm cách đều các điểm đã cho và OA = AB/2 = a.

e) Theo chứng minh câu c.

f) Khi S thay đổi trên d, ta có I luôn nằm trong mặt phẳng (B, d).

Trong mặt phẳng này I luôn nhìn đoạn AB cố định dưới góc vuông nên tập hợp I là đường tròn ( C 1 ) đường kính AB nằm trong mặt phẳng (B, d).

Tương tự, tập hợp J là đường tròn ( C 2 ) đường kính AC nằm trong mặt phẳng (C, d) và tập hợp K là đường tròn đường kính AD nằm trong mặt phẳng (D, d).