Với n =1 thì A < 3. Vậy ta phải đi chứng minh A < 3

Giả sử A < 3 đúng với n = k. Ta có:

$A=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{5}\right)+\left(1+\frac{1}{9}\right)+...+\left(1+\frac{2}{k^2+3k}\right)<3$A=(1+12 )+(1+15 )+(1+19 )+...+(1+2k2+3k )<3

$A=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{5}\right)+\left(1+\frac{1}{9}\right)+...+\left(\frac{k^2+3k+2}{k\left(k+3\right)}\right)$A=(1+12 )+(1+15 )+(1+19 )+...+(k2+3k+2k(k+3) )

$A=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{5}\right)+\left(1+\frac{1}{9}\right)+...+\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{k\left(k+3\right)}$A=(1+12 )+(1+15 )+(1+19 )+...+(k+1)(k+2)k(k+3) 

Ta phải đi chứng minh A < 3 đúng với n = k +1 tức là phải chứng minh:

$A=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{5}\right)+\left(1+\frac{1}{9}\right)+...+\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{k\left(k+3\right)}+\left(1+\frac{2}{\left(k+1\right)^2+3\left(k+1\right)}\right)$A=(1+12 )+(1+15 )+(1+19 )+...+(k+1)(k+2)k(k+3) +(1+2(k+1)2+3(k+1) )  $<3+\frac{\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{\left(k+1\right)\left(k+4\right)}$<3+(k+2)(k+3)(k+1)(k+4) 

Ta sẽ có:

$A=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{5}\right)+\left(1+\frac{1}{9}\right)+...+\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{k\left(k+3\right)}+\left(1+\frac{2}{k^2+2k+1+3k+3}\right)$A=(1+12 )+(1+15 )+(1+19 )+...+(k+1)(k+2)k(k+3) +(1+2k2+2k+1+3k+3 )

$A=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{5}\right)+\left(1+\frac{1}{9}\right)+...+\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{k\left(k+3\right)}+\frac{k^2+5k+6}{k^2+5k+4}$A=(1+12 )+(1+15 )+(1+19 )+...+(k+1)(k+2)k(k+3) +k2+5k+6k2+5k+4 

$A=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{5}\right)+\left(1+\frac{1}{9}\right)+...+\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{k\left(k+3\right)}+\frac{\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{\left(k+1\right)\left(k+4\right)}$A=(1+12 )+(1+15 )+(1+19 )+...+(k+1)(k+2)k(k+3) +(k+2)(k+3)(k+1)(k+4)  $<3+\frac{\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{\left(k+1\right)\left(k+4\right)}$<3+(k+2)(k+3)(k+1)(k+4) 

Vậy A đúng với n = k + 1 thì A đúng với n = k

Vậy A < 3 là điều phải chứng minh.

(Phương pháp quy nạp toán học)

 Với n =1 thì A < 3. Vậy ta phải đi chứng minh A < 3

Giả sử A < 3 đúng với n = k. Ta có:

$$

$$

$$

Ta phải đi chứng minh A < 3 đúng với n = k +1 tức là phải chứng minh:

$$  $$

Ta sẽ có:

$$

$$

$$ $$

Vậy A đúng với n = k + 1 thì A đúng với n = k

Vậy A < 3 là điều phải chứng minh.

(Phương pháp quy nạp toán học)

 Với n =1 thì A < 3. Vậy ta phải đi chứng minh A < 3

Giả sử A < 3 đúng với n = k. Ta có:

$$

$$

$$

Ta phải đi chứng minh A < 3 đúng với n = k +1 tức là phải chứng minh:

$$  $$

Ta sẽ có:

$$

$$

$$ $$

Vậy A đúng với n = k + 1 thì A đúng với n = k

Vậy A < 3 là điều phải chứng minh.

(Phương pháp quy nạp toán học)

\(\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{5}\right)+\left(1+\frac{1}{9}\right)+...+\left(1+\frac{2}{n^2+3n}\right)\)

\(=\left(1+1+1\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{9}+...+\frac{2}{n^2+3n}\right)+\left(1+1+1+...+1\right)\)

\(=3+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{9}+...+\frac{2}{n^2+3n}\right)+\left(1+1+1+...+1\right)\)

Có: \(\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{9}+...+\frac{2}{n^2+3n}>0\)

\(1+1+1+...+1>0\)

=> \(3+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{9}+...+\frac{2}{n^2+3n}\right)+\left(1+1+1+...+1\right)>3\)

Hay \(\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{5}\right)+\left(1+\frac{1}{9}\right)+...+\left(1+\frac{2}{n^2+3n}\right)>3\)

Ta có : \(A=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)...\left(1-\frac{1}{19}\right)\left(1-\frac{1}{20}\right)\)

               \(=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}....\frac{18}{19}.\frac{19}{20}\)

               \(=\frac{1.2....18.19}{2.3...19.20}\)

               \(=\frac{1}{20}>\frac{1}{21}\)

Vậy A > 1/21

Ta thấy: 1+ 2/ n^2+3n = n^2+3n+2 / n(n+3) =(n+1)(n+2) /n(n+3)

Áp dụng công thức trên,ta có:

A= (1+2/4 )(1+ 2/10)(1+2/18).....(1+2/ n^2+3n)

=(1+2 /1x4)( 1+2 /2x5)(1+2 /3x6).....[ (n+1)(n+2)/ n(n+3)]

=(2x3 /1x4)(3x4 /2x5)(4x5 /3x6).....[ (n+1)(n+2) /n(n+3)]

= 3x(n+1 /n+3)

Vì n+1 /n+3 <1 với mọi n thuộc N nên 3x(n+1 /n+3) <3

Vậy A<3

\(A=\left(\frac{1}{2}-1\right)\left(\frac{1}{3}-1\right)\left(\frac{1}{4}-1\right)...\left(\frac{1}{10}-1\right)\)

\(\Rightarrow A=\frac{-1}{2}.\frac{-2}{3}.\frac{-3}{4}...\frac{-9}{10}\)

\(\Rightarrow A=\frac{-1}{10}\)

Dễ thấy \(\frac{1}{10}< \frac{1}{9}\Rightarrow\frac{-1}{10}>\frac{-1}{9}\)

\(A=\frac{-1}{2}.\frac{-2}{3}.\frac{-3}{4}.....\frac{-9}{10}\)

\(A=\frac{-1}{10}\)

\(\frac{-1}{10}>\frac{-1}{9}\Rightarrow A>\frac{-1}{9}\)

đ/s:..

kk k mik mik mik nha nha nha!

\(\frac{3}{2^2}.\frac{8}{3^2}.\frac{15}{4^2}.....\frac{899}{30^2}\)

\(=\frac{1.3}{2.2}.\frac{2.4}{3.3}.\frac{3.5}{4.4}.....\frac{29.31}{30.30}=\frac{1.2.3.....29}{2.3.4.....30}.\frac{3.4.5.....31}{2.3.4.....30}\)

\(=\frac{1}{2}.\frac{31}{30}=\frac{31}{60}\)

Ta có:

\(A=\left(\frac{1}{2^2}-1\right)\left(\frac{1}{3^2}-1\right)\left(\frac{1}{4^2}-1\right)..\left(\frac{1}{2017^2}-1\right)\)

\(A=\left(\frac{1}{4}-1\right)\left(\frac{1}{9}-1\right)\left(\frac{1}{16}-1\right)...\left(\frac{1}{2017^2}-1\right)\)

\(A=\left(-\frac{3}{2^2}\right)\left(\frac{-8}{3^2}\right)\left(\frac{-15}{4^2}\right)...\left(\frac{-\left(1-2017^2\right)}{2017^2}\right)\)
( có 2016 thừa số)

\(A=\frac{3.8.15...\left(1-2017^2\right)}{2^2.3^2.4^2...2017^2}\)

\(A=\frac{\left(1.3\right)\left(2.4\right)...\left(2016.2018\right)}{\left(2.2\right)\left(3.3\right)\left(4.4\right)...\left(2017.2017\right)}\)

\(A=\frac{\left(1.2.3....2016\right)\left(3.4.5....2018\right)}{\left(2.3.4...2017\right)\left(2.3.4...2017\right)}\)

\(A=\frac{1.2018}{2017.2}\)

\(A=\frac{1009}{2017}\)

Ta có : \(\frac{1009}{2017}>0\) (vì tử và mẫu cùng dấu)

           \(\frac{-1}{2}< 0\) (vì tử và mẫu khác dấu)

Vậy A>B