Xét các số: 2016;20162016;...;2016...2016 (2018 số 2016)

Có 2018 số nên chia cho 2017 có ít nhất 2 số đồng dư

Giả sử số đó là 2016...2016 (m số 2016) và 2016...2016 (n số 2016)      (m,n E N;m>n)

=>2016...2016-2016...2016 chia hết cho 2017

       ▲                  ▲

 m số 2016          n số 2016

=>2016...2016.1000ⁿ

         ▲

      m-n số 2016

Mà (1000ⁿ;2017)=1

=>2016...2016 chia hết cho 2017 (m-n số 2016)  (đpcm)

Xétcác số 2016;20162016;...;2016 ...2016(2018số 2016)

có 2018 số nên chia cho 2017 có ít nhất 2 số đồng dư

giả sử số đó là 2016...2016 chia hết cho 2017 (n số 2016) (m,nEn;m>n)

=> 2016...2016-2016...2016 chia hết cho 2017

m số 2016                           nsố  2016

=> 2016...2016.1000ⁿ

         m-n số 2016 

Mà (1000ⁿ;2017)=1

=>2016...2016 chia hết cho 2017 ( m - n số 2016)         (dpcm)

Xét các số 2016;20162016;..;..2016;2016(2018 số 2016)

Có 2018 số nên chia 2017 có 2 số đồng dư

Giả sử số đó là:2016...2016(m số 2016) và 2016...2016(n số 2016)    (m,nEN,m>n)

=>2016...2016-2016...2016 chia hết cho 2017

      m số 2016        n số 2016

=>2016...2016.1000ⁿ

        m-n số 2016

Mà(1000²;2017)=1

=>2016...2016 chia hết cho 2017 (đpcm)

     m-n số 2016

Xét 2016 số 2016 , 20162016 ,..... 20162016 ...2016 ( 2016 số 2016 ) 

Đem 2016 chia cho 2017 sẽ cho ta tối đa là 2015 số dư 0 ; 1 ; 2 ; ... ; 2016

Vì 2016 = 2015 x 1 + 1

==> Theo nguyên lý Đi - rích - lê sẽ có hai số chia cho 2017 cùng số dư 

Giả sử hai số đó là :  20162016 ...2016 (... là i số 2016 ) và  20162016 ...2016 (... là k số 2016 ) 

==>   20162016 ...2016 (... là i số 2016 ) -  20162016 ...2016 (... là k số 2016 )  chia hết  cho 2017 

==> 20162016 ...201600 ... 0000 chia hết cho 2017 

i - k số 2016                         6 k chữ số 0 

==> 20162016 ...2016 ( là i - k số 2016 ) nhân với 10 sẽ chia hết cho 2017 

Vì ( 10 ^6k  x 2017 ) = 1 

==> 2016201620162016...2016 (...là i - k số 2016 sẽ chi hết cho 2017 ) 

==> ĐPCM 

Xét các số :2016;20162016;..........;2016;...;2016(2018 số 2016)

Có 2018 số nên chia cho 2017 có ít nhất 2 số đồng dư

Giả sử số đó là 2016..........2016 (m số 2016) và 2016.......2016(n số 2016) (m;n E N m>n)

Suy ra 2016.........2016-2016.......2016 chia hết cho 2017

m số 2016        n số 2016

Suy ra 2016...........2016x1000

m-n số 2016

Mà (1000 n ;2017)=1

Suy ra 2016.......2016 chia hết cho 2017(m-n số 2016)                 (đpcm) 

cố lên

dùng dirichle, xét 2018 số 2016,20162016,....,20162016...2016(2018 số 2016) thì luôn tồn tại 2 số có hiệu chia hết cho 2017, gọi hai số đó là 
20162016...2016(m số 2016) và 20162016...2016(n số 2016) trong đó 1≤m≤n≤20181≤m≤n≤2018
hiệu của chúng là 20162016...201600..0(n số 2016 và m-n số 0) chia hết cho 2017
rút 10m−n10m−n ra và để ý  (10m−n;2017)=1(10m−n;2017)=1.
do đó ta có đpcm