a, 

Ta có ON // BH ( cùng vuông góc với AC )

OM // AH ( cùng vuông góc với BC )

MN // AB ( MN là đường trung bình của tam giác ABC )

Vậy tam giác OMN đồng dạng với tam giác HAB.

b,

Xét tam giác AHG và MOG có :

\(+,\widehat{HAG}=\widehat{OMG}\)( Do AH // OM )

\(+,\frac{OM}{AH}=\frac{MN}{AB}=\frac{1}{2}=\frac{GM}{GA}\)( DO 2 TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Ở CÂU a, )

Từ đó ta có tam giác AHG đồng dạng với tam giác MOG(c.g.c) nên \(\frac{OG}{HG}=\frac{MG}{MA}=\frac{1}{2}\)

Và \(\widehat{HGO}=\widehat{HGA}+\widehat{AGO}=\widehat{OGM}+\widehat{AGO}=\widehat{AGM}=180^0\)

\(\Rightarrow H,G,O\)thẳng hàng

a) Trên tia đối của tia OC lấy điểm N sao cho ON = OC,ta có : \(OM//BN\)và \(OM=\frac{1}{2}BN\)

Vì OM \(\perp\)BC,AH \(\perp\)BC,do đó OM //AH => NB // AH

Cmtt NA/BH

Xét \(\Delta\)ANB và \(\Delta\)BHA có :

AN = AH(gt)

\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)(gt)

\(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\)(gt)

=> \(\Delta ANB=\Delta BHA\left(g.c.g\right)\)

=> NB = AH(hai cạnh tương ứng)

Mà \(OM=\frac{1}{2}NB\)

=> AH = 2OM

b) Gọi I là trung điểm của AG,K là trung điểm của HG thì IK//AH => IK//OM,do đó \(\widehat{KIG}=\widehat{OMG}\)(so le trong)

Xét \(\Delta KGI\)và \(\Delta OMG\)có :

GI = GM(gt)

\(\widehat{G_1}=\widehat{G_2}\)(đối đỉnh)

\(\widehat{I}=\widehat{M}\)

=> \(\Delta KGI=\Delta OGM\left(g.c.g\right)\)

=> KG = GO

Từ đó ta có : HG = GO.

Hình vẽ :

Chứng minh:
Các điểm được đặt tên như hình vẽ:

Ta có: 

Cơ mà 
Lại có: 

Nguồn: Mạng

Chỉ chứng minh được câu b thui

a)

Trong tam giác ABC cân tại A có AD là đường trung tuyến.

Xét tam giác ABD và tam giác ACD có:

     AB = AC (tam giác ABC cân);

     AD chung;

     BD = DC (D là trung điểm của BC).

Vậy \(\Delta ABD = \Delta ACD\)(c.c.c.). Suy ra: \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = 90^\circ \) (vì ba điểm B, D, C thẳng hàng); \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\).

Vậy AD là đường cao của tam giác và đường phân giác của góc A.

Suy ra: AD là đường trung trực của tam giác ABC.

Vậy AD là đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác, đường trung trực của tam giác ABC.

Mà G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực nên A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy nếu tam giác ABC cân tại A thì các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.

b)

Ta có: \(AD \bot BC\).

H là trực tâm của tam giác ABC nên A, H, D thẳng hàng.

Mà A, H, I  thẳng hàng nên A, H, I, K thẳng hàng.

Suy ra: AD là tia phân giác của góc BAC (Vì AI là tia phân giác của góc BAC).

Nên \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\).

Xét tam giác BAD và tam giác CAD có:

     \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\);

     AD chung;

     \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC}\) (\(AD \bot BC\)).

\(\Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACD\)(g.c.g). Suy ra: AB = AC ( 2 cạnh tương ứng).

Do đó, tam giác ABC cân tại A

Vậy nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.

Nguyễn Thị Hội là con nào????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

) Gọi M là trung điểm BC. Lấy điểm D sao cho O là trung điểm CD

Xét Δ BCD có M là trung điểm BC, O là trung điểm CD \Rightarrow OM là đường trung bình của Δ BCD

\Rightarrow OM=12DB và OM // DB

mà OM⊥BC ( OM là đường trung trực của BC ) \Rightarrow DB⊥BC

mà AH⊥BC( AH là đường cao của ΔABC ) \Rightarrow AH // DB

Xét ΔABH và ΔBAD có

HABˆ=DBAˆ( 2 góc so le trong do AH // DB )

AB chung

ABHˆ=BADˆ( 2 góc so le trong do AH // DB )


\RightarrowΔABH=ΔBAD( g-c-g )

\Rightarrow AH = BD mà OM=12DB \Rightarrow OM=12AH

\Rightarrow AH = 2 OM ( đpcm )

b) Gọi G' là giao điển của AM và OH, P là trung điểm G'H, Q là trung điểm G'A

Xét Δ AG'H có P là trung điểm G'H, Q là trung điểm G'A \Rightarrow PQ là đường trung bình của \large\Delta AG'H

\RightarrowPQ=12AH và PQ // AH

Do PQ=12AH mà OM=12AH\Rightarrow PQ = OM

Do AH // OM ( cùng ⊥BC ) mà PQ // AH\Rightarrow PQ // OM

Xét ΔPQG′ và ΔOMG′ có

PQG′ˆ=OMG′ˆ( 2 góc so le trong do PQ // OM)

PQ = OM (c/m trên )

QPG′ˆ=MOG′ˆ ( 2 góc so le trong do PQ //OM )


\Rightarrow ΔPQG′=ΔOMG′( g-c-g )

\Rightarrow G'Q = G'M và G'P = G'O

Ta có G'Q = G'M mà G′Q=12G′A( Q là trung điểm G'A ) \Rightarrow G′M=12G′Amà G'M + G'A = AM

\Rightarrow G′A=23AM mà AM là trung tuyến của ΔABC

\Rightarrow G' là trọng tâm của ΔABC ,mà G là trọng tâm của ΔABC \RightarrowG′≡ G

mà G′∈OH \RightarrowG∈OH \Rightarrow O, H, G thẳng hàng ( đpcm )

là con chó

a/

O là giao 3 đường trung trực nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tg ABC

Nối AO cắt đường trong (O) tại E ta có

\(\widehat{ABE}=90^o\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow BE\perp AB\)

H là trực tâm tg ABC \(\Rightarrow CH\perp AB\)

=> BE//CH (1)

Ta có

\(\widehat{ACE}=90^o\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow CE\perp AC\)

H là trực tâm tg ABC \(\Rightarrow BH\perp AC\)

=> CE//BH (2)

Từ (1) và (2) => BHCE là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Do trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường mà G là trọng tâm tg ABC => M là trung điểm BC => M cũng là trung điểm của HE => MH = ME

Xét tg AHE có

MH=ME (cmt)

OA=OE

=> OM là đường trung bình của tg AHE \(\Rightarrow OM=\dfrac{1}{2}AH\) 

b/ 

Ta có M là trung điểm của BC (cmt) => OM là đường trung trực của BC \(OM\perp BC\)

\(AH\perp BC\)

=> OM//AH 

Xét tg AGH có

IA=IG (gt)

KH=KG (gt)

=> IK là đường trung bình của tg AGK => IK//AH mà OM//AH (cmt)

=> IK//OM \(\Rightarrow\widehat{GIK}=\widehat{GMO}\) (góc so le trong) (4)

IK là đường trung bình của tg AGH \(\Rightarrow IK=\dfrac{1}{2}AH\) mà \(OM=\dfrac{1}{2}AH\) (cmt) => IK = OM (5)

G là trong tâm tg ABC => \(GM=\dfrac{1}{2}AG\) mà \(IG=\dfrac{1}{2}AG\)

=> IG=GM (6)

Từ (4) (5) (5) => tg IGK = tg MGO (c.g.c)

c/

Nối H với O cắt AM tại G' Xét tg AHE

MH=ME (cmt) => AM là trung tuyến của tg AHE

OA=OE => HO là trung tuyến của tg AHE

=> G' là trọng tâm của tg AHE \(\Rightarrow G'M=\dfrac{1}{3}AM\)

Mà G là trọng tâm của tg ABC \(\Rightarrow GM=\dfrac{1}{3}AM\)

\(\Rightarrow G'\equiv G\) => H; G; O thẳng hàng

d/

Do G là trọng tâm của tg AHE => GH=2GO