trừi ơi , bạn có thôi ngay cái tính đó ko ,

bạn nói kiểu này , có khi bạn cần bài toán nào , bạn đăng lên ko ai làm đâu

Ta có :  

\(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3};...;\frac{1}{2010^2}< \frac{1}{2009.2010}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2010^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2009.2010}\)

\(\Rightarrow N< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2009}-\frac{1}{2010}\)

\(\Rightarrow N< 1-\frac{1}{2010}\)

\(\Rightarrow N< 1\left(đpcm\right)\)

Chúc bạn học tốt !!!! 

mọi người ơi tl nhanh nhanh nha mk đag rất cần

ta có: \(\frac{1}{2^2}=\frac{1}{2.2}<\frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}=\frac{1}{3.3}<\frac{1}{2.3};...;\frac{1}{2010^2}=\frac{1}{2010.2010}<\frac{1}{2009.2010}\)

\(\Rightarrow N<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2009.2010}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+..+\frac{1}{2009}-\frac{1}{2010}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2010}=\frac{2009}{2010}<1\)

=>N<1(đpcm)

Thôi, cho phép mình góp ý bài mình đã làm bằng cách đơn giản hơn nha ^^.

Đặt \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2010^2}\) ta có:

\(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3};\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4};...;\frac{1}{2010^2}< \frac{1}{2009.2010}\)

\(=A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2009.2010}\)

\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-...+\frac{1}{2009}-\frac{1}{2010}\)

\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{2010}\)

\(\Rightarrow A< 1\)

\(\Rightarrow A< \frac{3}{4}\)

Có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\); \(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\);...;\(\frac{1}{2010^2}< \frac{1}{2009.2010}\)

=> \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2010^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2009.2010}=1-\frac{1}{2010}=\frac{2009}{2010}\)Mà \(\frac{2009}{2010}>\frac{3}{4}\) -> Sai đề

Với mọi k ta luôn có \(k^2\ge k^2-1=\left(k-1\right)\left(k+1\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{k^2}\le\frac{1}{\left(k-1\right)\left(k+1\right)}=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1}\right)\)

Áp dụng vào ta suy ra

\(2A\le\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+...+\left(\frac{1}{2009}-\frac{1}{2011}\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2010}-\frac{1}{2011}< \frac{3}{2}\)