Gọi M là trung điểm của HC

Tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là trung tuyến nên BD = CD

Kết hợp với HM = CM (theo cách chọn điểm phụ) suy ra DM là đường trung bình của tam giác HBC

Do đó, DM // BH (1)

Ta có MI là đường trung bình của tam giác HDC nên IM // DC

Mà AD vuông góc DC nên IM vuông góc AD

Tam giác ADM có hai đường cao MI và BH cắt nhau tại I nên I là trực tâm của tam giác ADM

Suy ra AI là đường cao còn lại của tam giác ADM nên AI vuông góc DM.(2)

Từ (1) và (2) suy ra AI vuông góc BH (đpcm)

\(a,\left\{{}\begin{matrix}DI=IH\\HM=MC\end{matrix}\right.\Rightarrow IM\) là đtb tam giác DHC

\(\Rightarrow IM//DC\)

Mà \(AD\perp DC\Rightarrow IM\perp AD\)

\(b,\Delta ADC\) có \(DH\) là đường cao \(\left(DH\perp AC\right)\), \(MI\) là đường cao \(\left(MI\perp AD\right)\), \(MI\cap DH=I\) nên \(I\) là trực tâm

Vậy \(AI\perp DM\)

Úi Dồi Ôi dễ vãi

5 )

tự vẽ hình nha bạn 

a)

Xét tam giác ABM và tam giác ACM  có :

AM  cạnh chung 

AB = AC (gt)

BM = CM  (gt)

suy ra : tam giác ABM = tam giác ACM ( c-c-c)

suy ra : góc BAM =  góc CAM  ( 2 góc tương ứng )

Hay AM  là tia phân giác của góc A

b)

Xét tam giác ABD  và tam giác ACD có :

AD cạnh chung 

góc BAM  = góc CAM ( c/m câu a)

AB = AC (gt)

suy ra tam giác ABD  = tam giác ACD ( c-g-c)

suy ra : BD = CD ( 2 cạnh tương ứng)  

C) hay tam giác BDC cân tại D

Bài 4: a) Xét ABE vàHBE có:
BE chung
ABE= EBH (vì BE là phân giác)
=> ABE=HBE (cạnh huyền- góc nhọn)
b, Vì ABE=HBE(cmt)
=> BA = BH và EA = EH 
=> điểm B, E cách đều 2 mút của đoạn thẳng AH 
=>BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH
c, Vì AC vuông góc BK => EAK = \(90\) độ
EH vuông góc BC => EHC = 90 độ
Xét AEK vàHEC có:
EAK = EHC (= 90độ)(cmt)
AE = EH (cmt)
AEK = HEC (đối đỉnh)
=> AEK HEC (g.c.g)
=> EK = EC (2 cạnh tương ứng)
Xét HEC vuông tại H (vì EHC = 90 độ )
có EH < EC(cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông)
Mà AE = EH (cmt) => AE < EC