c/m: 10^n + 18n - 1 chia hết cho 27
10^n + 18n - 1= (10^n - 1) + 18n
10^n -1: vs n=2 10^2-1=99 (2 chữ số 9)
vs n=3 10^3-1=999 (3 chữ số 9)
10^n -1=99...9(n chữ số 9)
10^n -1 - 18n=99...9 + 18n
=9(11...1 + 2n) (11....1 có n chữ số 1)
=[9x3(11...1 + 2n)]/3 (Nhân 3 rồi chia cho 3)
=27[(11...1 + 2n)]/3]
Vậy ta cần chứng minh 11...1 + 2n chia hết cho 3 thì biểu thức trên sẽ chia hết cho 27
dấu hiệu của 1 số chia hết cho 3 là tổng các số trong số đó sẽ chia hết cho 3
Xét số 11...1=1+1+...+1 (n chữ số 1)
vs n=2 =>1+1=2=n
n=3 =>1+1+1=3=n
vậy tổng các chữ số của 11...1=1+1+...+1=n (n chữ số 1)
=>11...1+2n có tổng các chữ số =n+2n=3n hiển nhiên chia hết cho 3 (đpcm)

S=(5+5²+5³+5⁴)+(5⁵+5⁶+5⁷+5⁸)+...........+(5²⁰⁰⁹+5²⁰¹⁰+5²⁰¹¹+5²⁰¹²)

  =780+5⁴(5+5²+5³+5⁴)+...........+5²⁰⁰⁸(5+5²+5³+5⁴)

  =65*12 + 5⁴*65*12 + .......... + 5²⁰⁰⁸*65*12

  =65*12(1+5⁴+...+5²⁰⁰⁸) chia hết cho 65

=> S chia hết cho 65

\(A=10^{2012}+10^{2011}+10^{2009}+8\)

\(A=10^{2009}\left(10^3+10^2+10^1+8\right)\)

\(A=10^{2009}.1111+8\)

\(A=11110.....8\)( 2009 c/s 0 )

Không có số chính phương nào có tận cùng là 8

\(\Rightarrow\) A không phải là số chính phương.

A  có ba chữ số tận cùng là 008 nên \(A⋮8\) ( 1 )

A có tổng các chữ số là 9 nên \(A⋮3\) ( 2 )

 Từ (1)(2)  kết hợp với ( 3,8 )=1 \(\Rightarrow A⋮24\)

~  là trừ

Tớ làm phần b trước nha ! 

         Ta có : abcabc = abc000 + abc

                                  = abc x 1000 + abc

                                   = abc x ( 1000 + 1 )

                                   = abc x 1001

                                   = abc x 7 x 11 x 13 

Vậy abcabc chia hết cho 7 ; 11 và 13

Bài làm

a) x⁴+x³+2x²+x+1=(x⁴+x³+x²)+(x²+x+1)=x²(x²+x+1)+(x²+x+1)=(x²+x+1)(x²+1)

b)a³+b³+c³-3abc=a³+3ab(a+b)+b³+c³ -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)³+c³-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)((a+b)²-(a+b)c+c²)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-ab+c²-3ab)=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)

c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c

a+b+c=x-y-z+z-x=o

đưa về như bài b

d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung

e)x²(y-z)+y²(z-x)+z²(x-y)=x²(y-z)-y²((y-z)+(x-y))+z²(x-y)

=x²(y-z)-y²(y-z)-y²(x-y)+z²(x-y)=(y-z)(x²-y²)-(x-y)(y²-z²)=(y-z)(x²-2y²+xy+xz+yz)

Vì a chia cho 3 dư 1 

\(\Rightarrow\)a có dạng 3k + 1 (\(k\in N\))

Vì b chia cho 3 dư 2

\(\Rightarrow\)b có dạng 3k + 2 (\(k\in N\))

\(\Rightarrow a+b=3k+1+3k+2\)

\(\Rightarrow a+b=\left(3k+3k\right)+\left(1+2\right)\)

\(\Rightarrow a+b=6k+3=3\left(2k+1\right)\)

\(\Rightarrow a+b⋮3\)

\(\RightarrowĐPCM\)

a)aaaaa=a*111111=a*15873*7(chia hết cho 7)

b)abcabc=abc*1001=abc*91*11(chia hết cho 11)

c)aaa=a*111=a*3*37(chia hết cho 37)

d)ab+ab=10a+b+10a+b=20a+b(không có dấu hiệu nào chia hết cho 11, chứng tỏ sai đề!)

\(A=3+3^2+3^3+3^4+...+3^{2015}+3^{2016}\\\)

\(A=3\left(1+3\right)+3^3\left(1+3\right)+...+3^{2015}\left(1+3\right)\)

\(A=\left(1+3\right).\left(3+3^3+...+3^{2015}\right)\)

\(A=4.\left(3+3^3+...+3^{2015}\right)\)

Suy ra    : \(A⋮4\)